2016年高考新课标全国卷理科数学模拟试卷压轴题汇编

2016年高考新课标全国卷理科数学模拟试卷压轴题汇编

邯郸市第一中学2016届高三第十次研究性考试

12ax?x,a?R． 2（1）若f(1)?0，求函数f(x)的最大值；

（2）令g(x)?f(x)?(ax?1)，讨论函数g(x)的单调区间；

21.已知函数f(x)?lnx?（3）若a??2，正实数x1,x2满足f(x1)?f(x2)?x1x2?0，证明：x1?x2?21．解：（１）因为f(1)?1?5?1 2a?0，所以a?2，此时f(x)?lnx?x2?x,x?0，21?2x2?x?1f?(x)??2x?1?(x?0)，

xx由f?(x)?0，得x?1，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,??)上单调递减， 故当x?1时函数有极大值，也是最大值，所以f(x)的最大值为f(1)?0．．．．．．．．．．4分 （2）g(x)?f(x)?(ax?1)?lnx?12ax?(1?a)x?1， 21?ax2?(1?a)x?1所以g?(x)??ax?(1?a)?．

xx当a?0时，因为x?0，所以g?(x)?0． 所以g(x)在(0,??)上是递增函数，

1a(x?)(x?1)?ax?(1?a)x?1a当a?0时，g?(x)?， ?xx111令g?(x)?0，得x?，所以当x?(0,)时，g?(x)?0，当x?(,??)时，g?(x)?0，

aaa11因此函数g(x)在x?(0,)是增函数，在x?(,??)是减函数．

aa综上，当a?0时，函数g(x)的递增区间是(0,??)，无递减区间；

11当a?0时，函数g(x)的递增区间是(0,)，递减区间是(,??)．．．．．．．．．．．．8分

aa22（3）当a??2，f(x)?lnx?x?x,x?0．

由f(x1)?f(x2)?x1x2?0，即lnx1?x1从而(x1?x2)令t222?x1?lnx2?x2?x2?x1x2?0，

?(x1?x2)?x1?x2?ln(x1?x2)．

t?1． t可知，?(t)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,??)上单调递增，所以?(t)??(1)?1，

?x1?x2，则由?(t)?t?lnt得，??(t)?所以(x1?x2)2?(x1?x2)?1，因为x1?0,x2?0，

5?1成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 2因此x1?x2?江西省南昌市十所省重点中学命制2016届高三第二次模拟突破冲刺（理）（五）

21．已知函数f(x)?x．

ln(1?x)x?2； 2（1）当x?0时，证明：f(x)?（2）当x??1，且x?0时，不等式(1?kx)f(x)?1?x成立，求实数的值． 21．证明：（1）?x?0,ln(1?x)?0?令h(x)?ln(1?x)?xx?22x???ln(1?x)

ln(1?x)2x?22x． x?2x2h?(x)??0，则h(x)在(0,??)上是增函数．

(1?x)(2?x)2故h(x)?h(0)?0，即命题结论成立………………5分

x?0，1?x?0; （2）当x?0时，

ln(1?x)x?0，1?x?0 0?x??1当时，

ln(1?x)(1?x)ln(1?x)?x?kx2所以1?kx?0，原不等式可化为?0．

x令g(x)?(1?x)ln(1?x)?x?kx2．

1?2k令h(x)?g?(x)?ln(1?x)?2kx,h?(x)?1?x

1?1． 当x?0时，有0?1?x令2k?1，则h?(x)?0，故g?(x)在上(0,??)是减函数，即g?(x)?g?(0)?0． 因此g(x)在(0,??)上是减函数，从而g(x)?g(0)?0，

1(1?x)ln(1?x)?x?kx2所以，当k?时，对于x?0，有?0

2x1?1． 当?1?x?0时，有

1?x令2k?1，则h?(x)?0，故g?(x)在(?1,0)上是增函数，即g?(x)?g?(0)?0． 因此，g(x)在(?1,0)上是减函数，从而，g(x)?g(0)?0．

1(1?x)ln(1?x)?x?kx2所以，当k?时，对于?1?x?0有?0

2x1综上，当k?时，在x??1，且x?0时，不等式(1?kx)f(x)?1?x成立．……12分

2江西省南昌市十所省重点中学命制2016届高三第二次模拟突破冲刺（理） 21．（本小题满分12分） 已知函数

f(x)?ax?x2?xlna?a?0,a?1?．

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间； （Ⅱ）若存在x1,x2???1,1?，使得

，求实数a的取值范围． f(x1)?f(x2)?e-1（e是自然对数的底数）

xx21． 解：（Ⅰ）f?(x)?alna+2x?lna?2x+(a?1)lna． ……… 1分

因为当ax?1时，lna?0，?a?1?lna在R上是增函数，

因为当0?a?1时，lna?0，a?1lna在R上也是增函数， 所以当a?x??1或0?a?1，总有f?(x)在R上是增函数， ………2分

又f?(0)?0，所以f?(x)?0的解集为(0,+?)，

f'?x??0的解集为???,0?，……… 3分

故函数f(x)的单调增区间为(0,+?)，单调减区间为

???,0?． ……… 4分

（Ⅱ）因为存在x1,x2?[?1,1]，使得f(x1)?f(x2)≥e?1成立， 而当x?[?1,1]时，f(x1)?f(x2)≤f(x)max?f(x)min，

所以只要f(x)max?f(x)min≥e?1即可． ……… 5分 又因为x，f?(x)，f(x)的变化情况如下表所示：

x (??,0) 0 0 极小值 (0,+?) f?(x) ? 减函数 + 增函数 f(x) 所以f(x)在[?1,0]上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当x?[?1,1]时，f?x?的最小值f?x?min?f?0??1，f?x?的最大值f?x?max为f??1?和f?1?中的最大值．………7分

1?2lna， a1121令g(a)?a??2lna(a?0)，因为g?(a)?1+2??(1?)2?0，

aaaa1所以g(a)?a??2lna在a??0,???上是增函数．

a因为f(1)?f(?1)?(a+1?lna)?(+1+lna)?a?而g(1)?0，故当a?1时，g?a??0，即f(1)?f(?1)；

当0?a?1时，g?a??0，即f(1)?f(?1)． ……… 9分 所以，当a?1时，f(1)?f(0)≥e?1，即a?lna≥e?1，

函数y?a?lna在a?(1,??)上是增函数，解得a≥e； ………10分

1a1?lna≥e?1， a11函数y??lna在a?(0,1)上是减函数，解得0?a≤． ………11分

ae1综上可知，所求a的取值范围为a?(0,]?[e,+?)． ………12分

e当0?a?1时，f(?1)?f(0)≥e?1，即

江西省赣州市十三县（市）2016届高三下学期期中联考（理） 21. （本小题满分12分） 已知函数

f(x)?1n(x?1)?ax2?x (a?R)．

1时，求函数y?f(x)的单调区间； 4（1）当a?（2）若对任意实数b?(1,2)，当x?(?1,b]时，函数21. 解：（1）当a?f(x)的最大值为f(b)，求a的取值范围．

112时，f(x)?ln(x?1)?x?x， 44则

f?(x)?11x(x?1)?x?1?(x??1)，……………………………………1分 x?122(x?1)令

f?(x)?0，得?1?x?0或x?1；令f?(x)?0，得0?x?1，

f(x)的单调递增区间为(?1,0)和(1,??)，单调递减区间为(0,1). ………4分

f?(x)?x[2ax?(1?2a)](x??1)，

(x?1)∴函数

（2）由题意

（i）当a?0时，函数f(x)在(?1,0)上单调递增，在(0,??)上单调递减，此时，不存在实数b?(1,2)，使得当

x?(?1,b]时，函数f(x)的最大值为f(b).……………6分

（ii）当a?0时，令①当a?f?(x)?0，有x1?0，x2?1?1， 2a1时，函数f(x)在(?1,??)上单调递增，显然符合题意.……………7分 2111?1?0即0?a?时，函数f(x)在(?1,0)和(?1,??)上单调递增， ②当2a22a1?1)上单调递减，f(x)在x?0处取得极大值，且f(0)?0， 在(0,2a要使对任意实数b?(1,2)，当x?(?1,b]时，函数f(x)的最大值为f(b)，

1只需f(1)?0，解得a?1?ln2，又0?a?，

21所以此时实数a的取值范围是1?ln2?a?. ……………………………9分

2111?1?0即a?时，函数f(x)在(?1,?1)和(0,??)上单调递增， ③当2a22a1?1,0)上单调递减，要存在实数b?(1,2)，使得当x?(?1,b]时， 在(2a1?1)?f(1)， 函数f(x)的最大值为f(b)，需f(2a1?ln2?1?0，① 代入化简得ln2a?4a1111?ln2?1(a?)，因为g?(a)?(1?)?0恒成立， 令g(a)?ln2a?4a2a4a111故恒有g(a)?g()?ln2??0，所以a?时，①式恒成立，

222 综上，实数a的取值范围是[1?ln2,??). …………………………………12分

益阳市2016届高三4月调研考试 21．（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）若曲线yf(x)?12x?(3a?1)x?3alnx. 2?f(x)在点（4，f ( 4 )）处的切线的斜率小于0，求f(x)的单调区间；