第三章 静电场中的电介质习题及答案

C1??0a?b?x?l ，

C2??0?raxl

U电容器的电容为

C?C1?C2?电容器储能为

?0a?b???r?1?x0?l

W?由虚功原理知，静电力作功为 图21-1

?a?b???r?1?x?21CU2?0U22l

h根据平衡条件得

?W?0aV2Fe????r?1??x2l

UFe?Fgb h ?0aV22l

??r?1???lahgal整理上式介质的高度为 图21-2

?0??r?1?V2h?2?gl2

作用在液态电介质表面单位面积上的平均牵引力为

Fe?0aV2??r?a?V2T???2?0??r?1?al2lal2l

22、当用高能电子轰击一块有机玻璃时，电子渗入有机玻璃并被内部玻璃所俘获。例如，当一个0.5?A的电子束轰击面积为25cm2、厚为12mm的有机玻璃板（相对介电常数?r?3.2）达1s，几乎所有的电子都渗入表面之下约5~7mm的层内。设这有机玻璃板的两面都与接地的导体板接触，忽略边缘效应，并设陷入的电子在有机玻璃中均匀分布，如图22-1所示。 （1）求带电区的极化电荷的密度； （2）求有机玻璃表面的极化电荷密度；

（3）画出D、E、?（电势）作为电介质内部的位置函数的图形； （4）求带电层中心的电势；

（5）求在两接地导体板之间的没有电荷区域内的场强； （6）求这有机玻璃板里贮存的静电能。

解（1）由电流强度定义知

I?q q?Itt

?r?r带电区电荷体密度为

qIt0.5?10?6?e????3.33?10?2c/m3?4?3VV25?10?6?10……① 图22-1

如图22-2所示在带电区内作柱形高斯面，坐标原点在对称中心，由高斯定理得层内任一点

???处的D、E、P值为

S???D?dS?2D??S?2x?S?eD??ex……②

?Sxd?6mml?12mmE?D?0?r??ex?0?r……③ 图22-2

P??0??r?1?E??0??r?1??ex??r?1??ex??0?r?r……④

取

x?d2，得带电层表面处的极化强度为

Pd?2??r?a??e?rd2???r?1??ed2?r……⑤

带电层表面极化电荷面密度为

??Pd2'd2?r?1??ed?3.2?1??3.33?10?2?6?10?3????6.87?10?5c/m2?r2?3.2……⑥

（2）作一个包围带电层的柱形高斯面，如图22-2所示，由高斯定理得

2D??S??S?ed

dD??e2……⑦ ?dE?e2?0?r……⑧

P??0??r?1??ed??r?1??ed?2?0?r2?r……⑨

有机玻璃表面的极化电荷面密度为

???P???l??P?n??r?1?d??e2?r??6.87?10?5c/m2……⑩

(3)带电层内任一点电势为

?1??d2l2x?x?ed?ed?e?d22?edx??ddx???l?d????x?2?0?r4?0?r2?0?r?42?0?r?d??0?x???2?…… ?带电层外任一点电势为

?2??l

x??D、E、?随x变化规律曲线如图22-3所示

?D?E2?d?ddx??2?0?r2?0?r?l???x??2?……

12?o图22-3

（4）取x=0代入?式得，带电层中心处的电势为

d2l2xoxox?ed?dl??e?d2??0????????2?0?r?22?2?0?r?4?

??edd2?e????l?d???4??8??0r? ?0r?6?10?3?3.33?10?262?10?6?3.33?10?2??3?12?6??10??????128?8.85?10?12?3.2??4?8.85?10?3.2(5)由⑧式得带电层外的场强为

??1.59?104V

(6)有机玻璃内贮存的静电能为

?ed6?10?3?3.33?10?2E??????3.53?106V/m?122?0?r2?8.85?10?3.2

11W??D1E1dV1??D2E2dV222 1d?2x21d2?22??dSdx??dV?22?0?r24?0?r?2S?2?0?r1?d3d3?d2?2?S??l?d?????3?88?8?0?r22?2Sd3?Sd?l?d???24?0?r8?0?r2?4?42?6?33.332?10?4?25?10?4?63?10?93.33?10?25?10?6?10??12?6??10???1224?8.85?10?3.28?8.85?10?12?3.2?352.4?10?5J??E0E 解：介质在与真空的分界面上出现极化电荷，轴线上一点O的场强是介质中场强和

?E极化电荷在轴线上O点的场强'的矢量和。极化电荷面密度为

???Pcos? （P'为极化强度，n为表面法线方向） ?'?P?n23、在一无限大均匀介质内，挖出一无限长圆柱形真空区，圆柱形的横截面半径为R。

设介质内场强E均匀，且与圆柱形轴线垂直，求圆柱形轴线上的一点的场强。

如图所示，取一宽度为Rd?的无限长带电线，其上电荷线密度为 ???'Rd??PRcos?d? 该带电线在轴线上产生的场强为

ydE'???PRcos?d??2??0R2??0RP2??0cos?d?d????dE'x

极化电荷在轴线上产生的场强为

'E'?Ex??dEcos???02?2?zcos2?d??P2?0

P2??00??PE'?2?0所以轴线上一点的总场强为

??????P??0??r?1?E?r?1??E0?E?E'?E??E??E?E2?02?02

24、一平行板电容器两极板间距为d，其间放置一块厚度为t的介质平板，板面与极板成倾角?，介质的相对介电常数为?r，若两极分别带上面密度为??和??的电荷，试求两极板间的电势差。（设倾角为?较小，边缘效应可以忽略）

解：设两极板的边长为a和b的长方形，建立坐标如图所示，上、下两板一小面积dS?adx构成平行板电容器，该电容器看成由两个电容器串联而成，其中一个是空气，另一个是介质，每个电容器中电容分别为

根据电容器串联性质得

?0adxd?tcos? ??adxdC2?0rtcos? dC1???d?tcos???tcos?111d?tcos?tcos??????rdCdC1dC2a?0dxa?0?rdxa?0?rdx

a?0?rdxdC??r?d?tcos???tcos?

C??dC?0b?0?rab?r?d?tcos???tcos?yb?r?0?rS?r?d?tcos???tcos?

式中S?ab为极板面积 ?极板上电量为

xdx

极板间的电势差为 图24-1

Q??S

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