数学必修2人教A教案导学案：直线的一般式方程

3.2.3 直线的一般式方程

（一）教学目标1．知识与技能

（1）明确直线方程一般式的形式特征；

（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.2．过程与方法

学会用分类讨论的思想方法解决问题.3．情态与价值观

（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题.（二）教学重点、难点：

1．重点：直线方程的一般式；

2．难点：对直线方程一般式的理解与应用.（三）教学设想教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 1．（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于引入课题x，y的二元一次方程表示吗？形成概念 （2）每一个关于x，y的二元一次方程Ax + By + C = 0 (A, B教师引导学生用分类讨论的方使学生法思考探究问题(1),即直线存在斜理解直线和率和直线不存在斜率时求出的直线二元一次方方程是否都为二元一次方程. 对于程的关系. 问题(2),教师引导学生理解要判断1

不同时为0)都表示一条直线吗? 某一个方程是否表示一条直线,只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式. 为此要对B分类讨论，即当B≠0时和当B = 0时两种情形进行变形. 然后由学生去变形判断，得出结论：关于x，y的二元一次方程，它都表示一条直线.教师概括指出：由于任何一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示；同时，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax + By + C = 0 (A, B不同为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式概念深化 (general form). 学生通过相比、讨论，发现直使学生线方程的一般式与其他形式的直线2．直线方程的一般式与其他理解直线方方程的一个不同点是：直线的一般几种形式的直线方程相比，它有程的一般式式方程能够表示平面上的所有直什么优点？ 的与其他形线，而点斜式、斜截式、两点式方式的不同点. 程，都不能表示与x轴垂直的直线. 3．在方程Ax + By + C = 0中，A，B，C为何值时，方程表教师引导学生回顾前面所学过示的直线的与x轴平行和重合，与y轴平行和（1）平行于x轴；（2）平重合的直线方程的形式. 然后由学行于y轴；（3）与x轴重合；（4）生自主探索得到问题的答案. 与y重合. 使学生理解二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响. 学生独立完成. 然后教师检查、使学生4．例5评价、反馈. 指出：对于直线方程的体会把直线已知直线经过点A (6, – 4)，一般式，一般作如下约定：一般按方程的点斜4含x项、含y项、常数项顺序排列；式转化为一斜率为?，求直线的点斜式和一3x项的系数为正；x，y的系数和常数般式，把握直般式方程. 项一般不出现分数；无特殊要求时，线方程一般求直线方程的结果写成一般式. 式的特点. 应用举例 先由学生思考解答，并让一个使学生学生上黑板板书. 然后教师引导学体会直线方生归纳出由直线方程的一般式，求程的一般式直线的斜率和截距的方法：把一般化为斜截式，式转化为斜截式可求出直线的斜率和已知直线的和直线在y轴上的截距. 求直线方程的一般与x轴的截距，即求直线与x轴交点式求直线的的横坐标，为此可在方程中令y = 0，斜率和截距 2

解出x值，即为与直线与x轴的截距.的方法. 在直角坐标系中画直线时，通常找出直线下两个坐标轴的交点.5．例6例6 解：将直线l的一般式方把直线l的一般式方程x – 1程化成斜截式y =x + 3.22y + 6 = 0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴1因此，直线l的斜率k =，它2上的截距，并画出图形. 在y轴上的截距是3. 在直线l 的方程x –2y + 6 = 0中，令y = 0，得x = – 6，即直线l在x轴上的截距是– 6 . 由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为A(– 6，0)，B (0，3)， 过点A，B作直线，就得直线l的图形. 使学生进一步理解6．二元一次方程的每一个解二元一次方与坐标平面中点的有什么关系？学生阅读教材第105页，从中程与直线的直线与二元一次方程的解之间有获得对问题的理解. 关系，体会直什么关系？ 角坐标系把直线与方程联系起来. 7．课堂练习 第105练习第2题和第3（2） 学生独立完成，教师检查、评价. 巩固所学知识和方法. 归纳总结 8．小结 （1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系. （2）比较各种直线方程的形式特点和适用范围. （3）求直线方程应具有多少个条件？ （4）学习本节用到了哪些数学思想方法？ 学生课后独立思考完成. 使学生对直线方程的理解有一个整体的认识. 课后作业 布置作业 见习案3.2的第3课时 . 巩固课堂上所学的知识和方法. 3

备选例题

例1 已知直线mx + ny + 12 = 0在x轴，y轴上的截距分别是–3和4，求m，n. 解法一：将方程mx + ny + 12 = 0化为截距式得：

yx??1， 1212??mn??12??3??m=4?m 因此有?,解之得:??12n=-3???4??n解法二：由截距意义知，直线经过A(–3，0)和B (0,4)两点，

?m?(?3)?n?0?12?0?m?4因此有?所以?

?m?0?n?4?12?0?n??3例2 已知A(2，2)和直线l：3x + 4y – 20 = 0求：

（1）过点A和直线l平行的直线方程； （2）过点A和直线l垂直的直线方程 【解析】（1）将与l平行的直线方程设为3x + 4y + C1 = 0，又过A(2，2)， 所以3×2 + 4×2 + C1 = 0，所以C1 = –14. 所求直线方程为：3x + 4y – 14 = 0.

（2）将与l垂直的直线方程设为4x – 3y + C2 = 0，又过A (2，2)， 所以 3×2 + 4×2 + C2 = 0 ，所以C2 = –2 所求直线方程为：4 – 3 – 2 = 0.

例3 设直线l的方程为(m2 – 2m – 3)x + (2m2 + m – 1)y = 2m – 6，根据下列条件分别确定实数m的值.

（1）l在x轴上的截距为–3； （2）斜率为1. 【解析】（1）令y = 0，依题意，得： ?m2?2m?3?0? ① 由①得：m≠3，且m≠–1，由②得：3m2 – 4m – 15 = 0， ?2m?6??3② ?2?m?2m?355解得m = 3或m??，所以综合得m??.

33由题意得：

?2m2?m?1?0③ 1? 由③得：m≠–1且m≠， ??(m2?2m?3)2?1④ ??2m2?m?144

由④得：m = –1或，所以m?

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