数学必修四人教版全国通用版讲义：第三章 三角恒等变换3.1.3 Word版含答案

高一数学必修课程 类型一 正切公式的正用

1

例1 (1)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________．

7答案 3

解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝1

－?－2?7＝＝3.

1

1＋×?－2?7

11

(2)已知α，β均为锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β＝______.

23π

答案 4

11

解析 因为tan α＝，tan β＝，

23

11

＋tan α＋tan β23

所以tan(α＋β)＝＝＝1.

1－tan αtan β1－1×1

23因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)， π

所以α＋β＝.

4

反思与感悟 (1)注意用已知角来表示未知角． (2)利用公式Tα＋β求角的步骤： ①计算待求角的正切值．

②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息． ③根据角的范围及三角函数值确定角．

π3π

θ＋?＝，则tan?θ－?＝________. 跟踪训练1 已知θ是第四象限角，且sin??4?5?4?4

答案 －

3

π4π3θ＋?＝，∴tan?θ＋?＝. 解析 由题意，得cos??4?5?4?4πππ14

θ－?＝tan?θ＋－?＝－∴tan?＝－. ?4??42?π?3?tan?θ＋4?

5

1＋tan?α＋β?tan α

tan?α＋β?－tan α

高一数学必修课程 类型二 正切公式的逆用 1＋tan 15°

例2 (1)＝________；

1－tan 15°1－3tan 75°(2)＝________.

3＋tan 75°答案 (1)3 (2)－1

tan 45°＋tan 15°

解析 (1)原式＝＝tan(45°＋15°)

1－tan 45°tan 15°＝tan 60°＝3. 3

－tan 75°tan 30°－tan 75°3

(2)原式＝＝ 31＋tan 30°tan 75°1＋tan 75°

3＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.

反思与感悟 注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，当式子出现

3

，1，3这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示． 3

跟踪训练2 求下列各式的值． cos 75°－sin 75°(1)； cos 75°＋sin 75°1－tan 27°tan 33°(2). tan 27°＋tan 33°

1－tan 75°tan 45°－tan 75°解 (1)原式＝＝

1＋tan 75°1＋tan 45°tan 75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－113

(2)原式＝＝＝. tan?27°＋33°?tan 60°3类型三 正切公式的变形使用

例3 (1)化简：tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°；

(2)若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，求α＋β的值． 解 (1)方法一 tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37° ＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37° ＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝3.

6

3

. 3

高一数学必修课程

tan 23°＋tan 37°

方法二 ∵tan(23°＋37°)＝，

1－tan 23°tan 37°tan 23°＋tan 37°

∴3＝，

1－tan 23°tan 37°

∴3－3tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝3. (2)∵(1＋3tan α)(1＋3tan β)

＝1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4， ∴tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)， tan α＋tan β

∴tan(α＋β)＝＝3. 1－tan αtan β又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°， ∴α＋β＝60°.

反思与感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式： ①tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)或②1?tan α·tan β＝

tan α±tan β

.当α±β为特殊角时，常考

tan?α±β?

虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果．

π

跟踪训练3 在△ABC中，A＋B≠，且tan A＋tan B＋3＝3tan Atan B，则角C的值为( )

2π2πππA. B. C. D. 3364答案 A

解析 ∵tan A＋tan B＋3＝3tan Atan B?tan(A＋B)·(1－tan Atan B)＝3(tan Atan B－1)，① ∴若1－tan Atan B＝0， 则cos Acos B－sin Asin B＝0， 即cos(A＋B)＝0.

π

∵0

2∴由①得tan(A＋B)＝－3，即tan C＝3.

7

高一数学必修课程 又∵0

3

.

1．若tan α＝3，tan β＝4

3，则tan(α－β)等于( )

A.13 B．－1

3 C．3 D．－3 答案 A

3－4

解析 tan(α－β)＝tan α－tan β3

11＋tan αtan β＝＝. 1＋3×43

3

2．已知cos α＝－4

π5，且α∈??2，π??，则tan?π?4－α??等于( A．－17 B．－7 C.1

7 D．7

答案 D

解析 由cos α＝－4π5，且α∈??2，π??，得sin α＝3

5， 所以tan α＝sin α3

cos α＝－4

. tan π－3

所以tan?π?4－α??＝4tan α＝1－??－4??＝7. 1＋tan π4tan α1－3

4故选D.

3．已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( ) A．1 B．2 C．－2 D．不确定 答案 B

8

)