数学必修四人教版全国通用版讲义：第三章 三角恒等变换3.1.3 Word版含答案

高一数学必修课程

3．1.3 两角和与差的正切

学习目标

1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出

两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．

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知识点一 两角和与差的正切

思考1 怎样由两角和的正、余弦公式得到两角和的正切公式？ sin?α＋β?sin αcos β＋cos αsin β

答案 tan(α＋β)＝＝，

cos?α＋β?cos αcos β－sin αsin β分子分母同除以cos αcos β，便可得到．

思考2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？ 答案 用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到． 梳理 两角和与差的正切公式

名称 两角和的正切 简记符号 Tα＋β 公式 tan(α＋β)＝ 1－tan αtan βtan α－tan βtan α＋tan β使用条件 πα，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z) 2πα，β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z) 2两角差的正切 Tα－β tan(α－β)＝ 1＋tan αtanβ知识点二 两角和与差的正切公式的变形 (1)Tα＋β的变形：

tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)． tan α＋tan β

tan αtan β＝1－. tan?α＋β?(2)Tα－β的变形：

tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)．

2

高一数学必修课程 tan α－tan β

tan αtan β＝－1.

tan?α－β?

3

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1．对于任意角α，β，总有tan(α＋β)＝

tan α＋tan β

.( × )

1－tan αtan β

π

提示 公式成立需α，β，α＋β均不等于kπ＋，k∈Z.

2

tan α±tan βπ

2．使公式tan(α±β)＝有意义，只需α，β≠kπ＋(k∈Z)即可．( × )

21?tan αtan βπ

提示 还应使α±β≠kπ＋，k∈Z.

2

π

3．若α，β，α＋β均不等于kπ＋，k∈Z，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)恒

2成立．( √ )

1－tan απππ

－α?＝4．α≠kπ－，且α≠kπ＋，k∈Z时，tan??4?1＋tan α.( √ ) 42

4