2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

x2?x1(1)函数f(x)?21?2的无穷间断点个数为

x?1x(A) 0. (B) 1 (C) 2 (D) 3 【分析】间断点为x?0,x??1，计算各点处的左、右极限以判断间断点的类型

x2?x1 【详解】显然函数f(x)?21?2在x?0,x??1处无定义，所以都是间断点。

x?1x由于limf(x)?limx?1x?1x111?2?2； x?1x2x?0limf(x)?lim??x?0x111?2?limx1??limx2?1?1， 2??x?0x?0x?1xxx1121?2?limx1???limx?1??1； 2??x?0x?0x?1xxx?0limf(x)?lim??x?0x??1limf(x)?limx11?2??

x??1x?1x所以只有一个无穷间断点，故应选（B）。

(2) 设y1, y2是一阶线性非齐次微分方程y??p?x?y?q?x?的两个特解. 若常数?,

?使?y1??y2是该方程的解, ?y1??y2是对应的齐次方程的解, 则

（A）??11112122,?? (B)???,??? (C) ??,?? (D) ??,?? 22223333 【分析】此题主要考查线性微分方程解的性质和结构

【详解】因为y1, y2是一阶线性非齐次微分方程y??p?x?y?q?x?的两个特解，所以 y1??p?x?y1?y2??p?x?y2?q?x?---------------------------（1） 由于?y1??y2是该方程的解,则

???y2?)?p?x?(?y1??y2)?q?x?即?(y1??p?x?y1)??(y2??p?x?y2)?q?x? (?y1 将（1）代入上式可得：????1——————————————（2） 由于 ?y1??y2是对应的齐次方程的解

1

???y2?)?p?x?(?y1??y2)?0，即?(y1??p?x?y1)??(y2??p?x?y2)?0 则(?y1 将（1）代入上式可得：????0——————————————（3） 由（2）、（3）可得????1。故应选（A） 2评注：设y1,y2,?,ys是一阶线性非齐次微分方程y??p?x?y?q?x?的解，则对于常数k1,k2,?,ks，有下列结论： ⑴ 若k1?k2???ks?1，则k1y1?k2y2???ksys是方程y??p?x?y?q?x?的解； ⑵ 若k1?k2???ks?0，则k1y1?k2y2???ksys是方程y??p?x?y?0的解。 (3) 曲线y?x2与曲线y?alnx(a?0)相切，则a?

(A)4e (B)3e (C)2e (D)e 【分析】利用导数的几何意义（切点处斜率相等）及两条曲线都经过切点可求得. 【详解】设切点为(x0,y0)，则(x0,y0)满足

??y?x200?? ?y0?alnx0 由此可求得a?2e。故应选（C）。

?a?2x0?x0??(4)设m,n为正整数,则反常积分

(A)仅与m取值有关

(C)与m,n取值都有关

?

1mln2(1?x)n0x

dx的收敛性

(B)仅与n取值有关 (D)与m,n取值都无关

【分析】考查两类反常积分的敛散性。将

?1mln2(1?x)n0xdx写成?1m20ln2(1?x)nxdx与

?1mln2(1?x)n12xdx两个反常积分的和，分别讨论敛散性。此题不能按反常积分敛散性的概念，

通过求原函数极限的方法来判断敛散性，而需利用反常积分敛散性的判别方法来判定，属于

超纲的一道题。

【详解】

?1mln2(1?x)n0xdx??1m20ln2(1?x)nxdx??11mln2(1?x)n2xdx

2

对

?1m20ln2(1?x)nxdx

mm由于f(x)?2ln(?1xnx)?0，

2mln2(1?x)nx?x21?mn(x?0?)，所以取p?1m201，则nx?0?lim(x?pmln2(1?x)nx)?limx?0，由极限审敛法知：??x?0ln2(1?x)nxdx收敛；

对

?1mln2(1?x)n12mxdx

1m2由于f(x)?ln2(1?x)nx?0，lim(1?x)?x?1ln2(1?x)nx?lim(1?x)ln(1?x)?0，由极?x?1122m限审敛法知：

?1mln2(1?x)n12xdx收敛。

因此应选（D） 评注：设f(x)在(a,b)内非负，?[?,?]?(a,b)，f(x)在[?,?]上可积，又设x?a（或ppx?b）是f(x)的瑕点，且lim(x?a)f(x)?llim(b?x)f(x)?l）（或，则当P?1且??x?ax?b0?l???时，瑕积分?f(x)dx收敛。 ab,y)由方程F((5)设函数z?z(xyz,)?0确定,其中F为可微函数,且F2??0则xxx?z?z?y? ?x?y(A) x (B)z (C) ?x (D) ?z 【分析】考查多元隐函数求偏导数。利用方程两端求微分，就可得到两个偏导数；或用隐函数求偏导数公式完成。

【详解】法一：方程F(,)?0两端微分得：F1??d()?F2??d()?0，从而

yzxxyxzxF1??(xdy?ydx)?F2??(xdz?zdx)?0，所以dz?(yF1??zF2?)dx?xF1?dy，因此

xF2??z(yF1??zF2?)?z?xF1??F1????， ?xxF2??yxF2?F2? 所以x?z?z?y?z。故应选（B） ?x?y 3

法二：令W?F(,)，则Wx???yzxxyz11?????F?FW?FW?F2?， 、、2y1z212xxxxWy??F1?Wx?(yF1??zF2?)?z?z从而 ， . ???????????xWzxF2?yWzF2 所以xn?z?z?y?z。故应选（B）. ?x?yn(6) limn???i?1n? ?22j?1(n?i)(n?j)x(A)

?10dx?101dy

(1?x)(1?y2)1 (B)

?10dx?x01dy

(1?x)(1?y) (C)

?0dx?1dy

0(1?x)(1?y) (D)

?10dx?1dy

0(1?x)(1?y2)1【分析】考查?和的极限，用定积分定义求。 【详解】由于limn???i?1nn1n11n1?lim()() ???22n??ijni?11?nj?11?()2j?1(n?i)(n?j)nnn1dx11n11n11)(lim?)??dy ?(lim?01?x?01?y2n??nn??nij2i?1j?11?1?()nn所以应选（D）

（7）设向量组 I:?1, ?2,???, ?r可由向量组II: ?1, ?2,???, ?s线性表示, 则列命题正确的是

(A) 若向量组I线性无关, 则r?s (B) 若向量组I线性相关, 则r?s (C) 若向量组II线性无关, 则r?s (D) 若向量组II线性相关, 则r?s 【分析】本题考查向量组的线性相关性。

rI）?（rII） 【详解】因向量组I能由向量组II线性表示，所以（，即

r(?1,?2,???,?r）?r(?1,?2,???,?s)?s,

若向量组I线性无关，则r(?1,?2,???,?r)?r，所以r?s. 故应选(A).

评注：“若?1, ?2,???, ?r线性无关，且?1, ?2,???, ?r可由?1, ?2,???, ?s线性表示，则r?s”这是线性代数中的一个重要定理，对定理熟悉的考生可直接得正确答案. (8)设A为4阶对称矩阵,且A?A?0若A的秩为3,则A相似于

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