两角和与差的正弦余弦正切公式

两角和与差的正弦余弦正切公式

教学目标

1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．(重点)

2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(难点)

3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、易错点)

[基础·初探]

教材整理1 两角和与差的余弦公式

阅读教材P128“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列问题.

名称 简记符号 公式 cos(α－β)＝cos 两角差的余弦公式 C(α－β) αcos β＋sin αsin β cos(α＋β)＝cos 两角和的余弦公式 C(α＋β) αcos β－sin αsin β

cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于________． 【解析】 逆用两角和的余弦公式可得

cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0. 【答案】 0

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使用条件 α，β∈R α，β∈R 教材整理2 两角和与差的正弦公式

阅读教材P128“探究”以下内容，完成下列问题． 1．公式 名称 两角和的正弦 简记符号 S(α＋β) 公式 sin(α＋β)＝sin αcos α、β∈R β＋cos αsin β sin(α－β)＝sin αcos 两角差的正弦 S(α－β) α、β∈R β－cos αsin β 使用条件 2.重要结论－辅助角公式

y＝asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝ab，sin θ＝2222． a＋ba＋b判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( )

(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( ) 解：(1)√.根据公式的推导过程可得．

(2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.

(3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°

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＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确．

【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 教材整理3 两角和与差的正切公式

阅读教材P129“探究”以下至“例3”以上内容，完成下列问题． 名称 简记符号 公式 tan(α＋β)＝T(α＋β) tan α＋tan β 1－tan αtan β使用条件 α，β，α＋β≠k两角和的正切 ππ＋2(k∈Z) 且tan α·tan β≠1 α，β，α－β≠k两角差的正切 T(α－β) tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan βππ＋2(k∈Z) 且tan α·tan β≠－1

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( ) tan α＋tan β

(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．( )

1－tan αtan βtan α＋tan β

(3)tan(α＋β)＝等价于tan α＋tan β＝tan(α＋

1－tan αtan ββ)·(1－tan αtan β)．( )

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?πππ???

解：(1)√.当α＝0，β＝3时，tan(α＋β)＝tan?0＋?＝tan 0＋tan 3，3??

但一般情况下不成立．

π

(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋2(k∈Z)．

πππ

(3)√.当α≠kπ＋2(k∈Z)，β≠kπ＋2(k∈Z)，α＋β≠kπ＋2(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子．

【答案】 (1)√ (2)× (3)√

[小组合作型]

灵活应用和、差角公式化简三角函数式

(1)(2016·济宁高一检测) sin 47°－sin 17°cos 30°

＝( ) cos 17°3

A．－2 1C．2 (2)化简求值： 1＋tan 75°①； 1－tan 75°

②sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)；

③(2016·遵义四中期末)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°.

1

B．－2 3D．2

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