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行测数学运算：基础公式
一、基础公式
1.乘法分配律：（a＋b）×c=a×c＋b×c
2.幂次运算律：am×an＝am+n；(am)n=amn；(a×b)n＝an×bn 3.平方差公式：a2－b2=（a＋b）（a－b） 4.完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab＋b2
5.完全立方公式：（a±b）3=a3±3a2b＋3ab2±b3 6.立方和差公式：a3±b3=（a±b）（a2ab＋b2）
【例1】（安徽2009-6）123456788×123456790－123456789×123456789=（）。 A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 ［答案］A
［解析］假设a＝123456789，则原式＝(a－1)×(a＋1)－a2＝a2－1－a2＝-1。 ［注释］本题还可以用到后面章节讲到的“尾数法”或者“整体消去法”。 【例2】２２２+782+2×22×78的值是（）。 A. 5000 B. 10000 C. 16001 D. 20000 ［答案］B
［解析］22２+78２+2×22×78=（22+78）2=10000 二、 约数倍数
1.本节往下研究整除、倍数、因数（约数）、余数及其相关特性时，仅限于在整数范围内讨论（某些性质需要在正整数范围内讨论），往后不再重复说明。 2.如果存在整数P，使整数M、N满足：M=P×N，则称N能整除M，M能被N整除。此时也称M为N的倍数，N为M的因数（也称N是M的约数）。 【例】∵12=3×4
∴3能整除12，12能被3整除，12是3的倍数，3是12的因数（约数） 3.能同时整除一组数中的每一个数的数，称为这组数的公因数。 4.能同时被一组数中每一个数整除的数，称为这组数的公倍数。 【例】∵12能被2整除，也能被3整除 ∴12是2和3的公倍数 ∵2能整除4，也能整除12 ∴2是4和12的公因数
5. 一组数的所有公倍数中最小的正整数为这组数的最小公倍数。 6. 一组数的所有公因数中最大的正整数为这组数的最大公因数。
【例】24和36的所有（正）公倍数包括72、144、216等，其中72为其最小公倍数。24和36的所有（正）公因数包括1、2、3、4、6、12，其中12为其最大公因数。 质因子法
质因子法是求最大公因数和最小公倍数的基本方法，请参照下面的例题。 【例】计算48和60的最大公因数和最小公倍数。
第一步：写出其标准分解式：48=24×31； 60=22×31×51
第二步：补足其标准分解式：48=24×31×50；60=22×31×51
第三步：对应因子取其中指数较小的一项并将结果相乘，即24和22中取22；31和31中取31；50和51中取50。此时22×31×50=12即为48和60的最大公
因数。
第四步：对应因子取其中指数较大的一项并将结果相乘，即24和22中取24；31和31中取31；50和51中取51。此时24×31×51=240即为48和60的最小公倍数。 短除式法
短除式法是求最大公因数和最小公倍数的常用方法，两个数字的情形和多个数字的情形会略有不同，请参照下面的例题。
【例】对两个数字的情形，如求48和60的最大公因数和最小公倍数，可以通过下述短除式：
当出现两个互质的数字时（第四步），即结束。
最大公因数=2×2×3=12（第四步左侧的三个数字的乘积）
最小公倍数=2×2×3×4×5=240 （第四步左侧的三个数字与下边两个数字的乘积）
【例】对三个数字的情形，如60、72、90
（1）如果求其最大公因数则可以通过下述短除式： 这三个数互质
（最大公因数为1） 其最大公因数=2×3=6
［注］注意此时10与12、12与15、10与15均不互质（事实上10与12、12与15、10与15的最大公因数分别为2、3、5），但10、12、15这三个数互质，短除式即结束。
（2）如果求其最小公倍数则可以通过下述短除式： 这三个数两两互质 （最大公因数为1）
其最小公倍数=2×3×2×3×5×1×2×1=360
［注］注意虽然10、12、15这三个数互质，但并不两两互质。此时为了求原数组最小公倍数，可以先除以其中两个数的最大公因数（不能除尽的保留），直至这些数两两互质。这是求多个（超过两个）数的最小公倍数与最大公因数的区别。 强化练习一 完成下表：在表格的左下部分填入对应两个数字的最大公约数，在表格的右上部分填入对应两个数字的最小公倍数。（答案见本章最后）
426081359012014415016018042 〖2〗-60〖3〗-81〖4〗-35〖5〗-90〖6〗-120〖7〗-144〖8〗-150〖9〗-160〖10〗-180〖11〗-强化练习二
完成下表：在下表的最下一行，填写上面对应三个数字的最小公倍数。（答案见本章最后）
数字一1518445412015016872数字二9271768014020063105数字三
1235339616024014040最小公倍数【例3】（山西2009-102）有一种红砖，长24厘米、宽12厘米、高5厘米，问至少用多少块这种砖才能拼成一个实心的正方体？（）
A. 600块B. 1200块C. 1800块D. 2400块 ［答案］B
［解析］显然，这个实心的正方体的边长应该同时为24、12、5的最小公倍数，即120，所以需要的块数为：120×120×120÷24÷12÷5＝1200。
【例4】（北京应届2009-14)如图，街道ABC在B处拐弯，在街道一侧等距离安装路灯，要求A、B、C三处各装一盏路灯，这条街最少装多少路灯？（） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21
［答案］C
［解析］由于灯间的距离要相等，所以这个距离应该同时为715和520的约数，而要求装灯的最小值，应该取715和520的最大公约数，即65为灯与灯的间距。所以总灯数应该为：（715＋520）÷65＋1＝20。
【例5】（广西2008-15）有一种长方形小纸板，长为29毫米，宽为11毫米。现在用同样大小的这种小纸板拼合成一个正方形，问最少要多少块这样的小纸板？（）
A． 197块B. 192块C. 319块D. 299块 ［答案］C
［解析］显然，这个正方体的边长应该同时为29、11的最小公倍数，即319，所以需要的块数为：319×319÷19÷11＝319。
【例6】(安徽2008-11)三位采购员定期去某市场采购，小王每隔9天去一次，大刘每隔6天去一次，老杨每隔7天去一次，三人星期二第一次在这里，下次相会将在星期几？（）
A. 星期一B. 星期五C. 星期二D. 星期四 ［答案］C
［解析］由题意，小王、大刘、老杨应该分别是每10、7、8天去一次市场，他们下一次相会应该是在N天之后，而N应该是10、7、8的最小公倍数。显然，N是7的倍数，所以下次相会仍然还会是在星期二。
【例7】（天津2008-14）小张数一篇文章的字数，两个两个数最后剩一个，三个三个数最后剩一个，四个四个数最后剩一个，五个五个数最后剩一个，六个六个数最后剩一个，七个七个数最后剩一个，则这篇文章至少共有多少字？（） A. 501 B． 457 C． 421 D． 365 ［答案］C
［解析］这篇文章的字数，如果去掉1，那么肯定同时是2、3、4、5、6、7的倍数，而这几个数的最小公倍数为420，所以原文章至少是421个字。 ［注释］本题同样可以通过代入排除得到最终答案。 核心提示
研究多个数字的最大公约数、最小公倍数是数学运算题常考的基础技能，我们在后面的章节中还会遇到与上面例题类似的题型，这就要求各位考生一定要好好掌握其内涵与求法。三、 整数特性 2、4、8整除及余数判定基本法则
1.一个数能被2（或5）整除，当且仅当其末一位数能被2（或5）整除； 2.一个数能被4（或25）整除，当且仅当其末两位数能被4（或25）整除； 3.一个数能被8（或125）整除，当且仅当其末三位数能被8（或125）整除； 4.一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数被2（或5）除得的余数； 5.一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数被4（或25）除得的余数； 6.一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数被8（或125）除得的余数。 【例】 ∵1978的末两位数字“78”不能被4整除 ∴1978不能被4整除
【例】 ∵1972的末两位数字“72”能被4整除 ∴1972能被4整除
【例】 ∵1972的末三位数字“972”不能被8整除 ∴1972不能被8整除
【例】 ∵2008的末三位数字“008”能被8整除 ∴2008能被8整除
【例】 ∵25198316的末三位数字“316”不能被8整除 ∴25198316不能被8整除
【例】 ∵25198903的末两位数字“03”除以“4”余3 ∴25198903除以4余3
【例】 ∵198903的末三位数字“903”除以“8”余7 ∴198903除以8余7
【例】 ∵1975的末两位数字“75”能被25整除 ∴1975能被25整除
【例】 ∵1875的末三位数字“875”能被125整除 ∴1875能被125整除
【例】 ∵8903的末两位数字“03”除以“25”余3 ∴8903除以25余3
【例】 ∵8903的末三位数字“903”除以“125”余28 ∴8903除以125余28
3、9整除及余数判定基本法则
1.一个数能被3整除，当且仅当其各位数字和能被3整除； 2.一个数能被9整除，当且仅当其各位数字和能被9整除； 3.一个数被3除得的余数，就是其各位数字和被3除得的余数； 4.一个数被9除得的余数，就是其各位数字和被9除得的余数。 【例】 ∵1949各位数字之和“1+9+4+9=23”不能被3整除 ∴1949不能被3整除
【例】 ∵1941各位数字之和“1+9+4+1=15”能被3整除 ∴1941能被3整除
【例】 ∵1941各位数字之和“1+9+4+1=15”不能被9整除 ∴1941不能被9整除
【例】 ∵1935各位数字之和“1+9+3+5=18”能被9整除 ∴1935能被9整除
【例】 39130825198368的各位数字之和为：3+9+1+3+0+8+2+5+1+9+8+3+6+8=66 ∵66不能被9整除
∴这个数字不能被9整除 ∵66除以9余3
∴这个数字除以9余3
【例】 52+47+284+183的各位数字之和为：5+2+4+7+2+8+4+1+8+3=44 ∵44不能被9整除 ∴这个和不能被9整除 ∵44除以9余8 ∴这个和除以9余8
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