中考数学专题突破：折叠问题

综上所述，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为 故答案为：

+ 或1．

+ 或1，

【分析】①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM= 40.（2017?苏州）如图，在矩形 应边

交

中，将

、

MB′，列方程即可得到结论．

的对 ，则

绕点 按逆时针方向旋转一定角度后， ，若

，

，

边于点 ．连接

________（结果保留根号）．

【答案】

x，DG=x-4.

【解析】【解答】解：连接AG，设AB′=B′G=x，则AG=在Rt△ADG中，由AG2=AD2+DG2，得（

x）2=72+（x-4）2，

整理得x2+8x-65=0，∴x1=5，x2=-13（舍） ∴AB=AB′=5，在Rt△ABC中，AC=

=

=

.

连接AC，AC′，由旋转的性质可得△ABB′∽△ACC′， ∴

==

. .

故答案为

【分析】由旋转的性质可得△ABB′∽△ACC′，即旋转相似，则=；AC和AB求出其中一个，就能求出另

外一个，连接AG，由勾股定理AG2=AD2+DG2构造方程，求出AB′即可.

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41.（2017?海南）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰

好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是________．

【答案】

【解析】【解答】解：由翻转变换的性质可知，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5， ∴∠EFC+∠AFB=90°， ∵∠B=90°，

∴∠BAF+∠AFB=90°， ∴∠EFC=∠BAF， cos∠BAF=

= ，

∴cos∠EFC= ， 故答案为： ．

【分析】根据翻转变换的性质得到∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF，根据余弦的概念计算即可．

42.（2016?齐齐哈尔）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为________．

【答案】 -1

【解析】【解答】解：如图所示：过点M作MF⊥DC于点F， ∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点， ∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°， ∴∠FMD=30°， ∴FD= MD= ， ∴FM=DM×cos30°= ∴MC= ∴EC=MC﹣ME=

， =

，

﹣1．

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故答案为： ﹣1．

【分析】过点M作MF⊥DC于点F，根据在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，得到2MD=AD=CD=2，从而得到∠FDM=60°，∠FMD=30°，进而利用锐角三角函数关系求出EC的长即可．此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形，难度不大．

43.在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为________（用含a的式子表示）．

【答案】3a

【解析】【解答】解：由折叠的性质得：B点和D点是对称关系，DE=BE， 则BE=EF=a， ∴BF=2a， ∵∠B=30°， ∴DF= BF=a，

∴△DEF的周长=DE+EF+DF=BF+DF=2a+a=3a； 故答案为：3a．

【分析】由折叠的性质得出BE=EF=a，DE=BE，则BF=2a，由含30°角的直角三角形的性质得出DF= BF=a，即可得出△DEF的周长．

44.（2016?河南）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为________．

【答案】或

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【解析】【解答】解：如图

，

由翻折的性质，得 AB=AB′，BE=B′E．

①当MB′=2，B′N=1时，设EN=x，得 B′E=

．

△B′EN∽△AB′M，

，即 =

，x2= ，BE=B′E=

=

．

②当MB′=1，B′N=2时，设EN=x，得 B′E=

，

△B′EN∽△AB′M，

，即 =

故答案为：

或

，解得x2= ，BE=B′E= ．

=

，

【分析】根据勾股定理，可得EB′，根据相似三角形的性质，可得EN的长，根据勾股定理，可得答案．本题考查了翻折的性质，利用翻折的性质得出AB=AB′，BE=B′E是解题关键，又利用了相似三角形的性质，要分类讨论，以防遗漏．

45.（2015?河南）如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为________ ．

【答案】16或

【解析】【解答】（i）当B′D=B′C时， 过B′点作GH∥AD，则∠B′GE=90°， 当B′C=B′D时，AG=DH=DC=8， 由AE=3，AB=16，得BE=13． 由翻折的性质，得B′E=BE=13．

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