2017数学中考专题 5 角平分线问题

角平分线也来了

下面就以五种情况进行专题研究

1. 如图1，角平分线遇平行必有等腰三角形；

2. 如图2，垂直角平分线的直线与该角两边交成等腰三角形，并且垂足F是GH的中点(三线合一) ； 3. 如图3，角平分线定理；

4. 补半角成倍角，或分倍角为半角； 5. 角平分线与圆.

DOEACBOGFHAMCBONPKACBQ

图1 图2 图3

一、 角平分线遇平行找等腰三角形

1 . 探究1 如图①，AD为等边△ABC的内角平分线，显然有

ACAB?CDDBAC.

探究2 如图 ②，若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角平分线，

ABDB应用：如图③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=24，AB=40，E为AB上一点且AE=15，CE交其内角平分线

DFAD于F. 试求的值.

FA?CD一定成立吗？证明你的判断.

AACDFB

DCBDCAEB

① ② ③

2. 如图 1 ，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，则（ ） A. EF?AE?BF B. EF?AE?BF C. EF?AE?BF D. EF?AE?BF

CAFBDEEAO

图1 图2

3. 如图2，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=5，连接BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为 .

BC4. 如图3，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，P在射线EF上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP. 设BP=y，PE=x.

1（1）当CQ?CE时，求y与x之间的函数关系式；

31（2）当CQ?CE（n为不小于2的常数）时，直接写出y与x之间的函数关系式.

nAPDBQC

EF图3

5.（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与CD相交于F点. 试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论；

ADFBEC

ADBECF

图① 图②

（2）如图②，当F在DC的延长线上时（其他条件不变），请你直接写出线段AB与AF、CF之间的数量关系.

二、遇垂直角平分线找等腰三角形 (角平分线遇垂直，补全成三线合一)

6 . 在△ABC中，点D是BC边的中点，AM是△ABC的角平分线，CE⊥AM，垂足为E，连接DE. （1）当AB?AC时（如图①），求证：AB?AC?2DE；

AAAEMDEBDMCBMECBDC

图① 图② 图③

（2）当AB?AC时（如图②），请你写出AB、AC与DE之间的数量关系： ；

（3）如果改AM为△ABC的外角平分线，其他条件不变（如图③），请写出AB、AC与DE之间的数量

关系： .

7. 如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BE平分∠ABC交AC于D，过C作BE的垂线交BE于E， 求证：BD=2CE.

AEDBC

8.（1）如图①，已知BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD于F，AG⊥CE于G，连接FG，延长AF、AG与直线BC相交于M、N. 则FG与△ABC三边具有的数量关系是： .

ADFMAEGBCN

EDFGC

B图① 图②

（2）如图②，若BD为△ABC的内角平分线，其他条件不变，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请证明你的猜想.

三、遇倍角或半角

见半角补成倍角或等分倍角；见倍角等分之或造半角的等腰三角形

14 . 在△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上，∠C=2∠EDB，BE⊥DE于E，DE交AB于点F.

（1）如图①，当AB=AC时，1）∠EBF= ；2）探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；

BE（2）如图②，当AB=k AC时，求的值（用含k的式子表示）.

FDAEFB

图① 图②

EAFDCDCB

15 . 阅读材料：如图①，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°. 小明通过以下计算：

由题意知∠B=30°，∠C=90°，c?2b，a?3b，得：a2?b2?(3b)2?b2?2b2?bc，即a?b?bc.

22于是小明猜想：对于任意的△ABC，当∠A=2∠B时，关系式a?b?bc都成立.

22AbCacBBcAbaCBcaAbC

图① 图 ② 图③

（1）如图 ②，请你用等腰Rt△进行验证，判断小明的猜测是否正确，并写出验证过程； （2）如图③，你认为小明的猜想是否正确，若认为正确，请你证明；否则，请说明理由； （3）若某三角形的三边长恰为三个连续偶数，且∠A=2∠B，请直接写出这个三角形三边的长.