中考数学 专题31 动态几何之单动点形成的最值问题（含解析）

专题31 动态几何之单动点形成的最值问题

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题。本专题原创编写单动点形成的最值问题模拟题。

在中考压轴题中，单动点形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法。

1. 如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜10）秒．解答如下问题： 3

（1）当t为何值时，PQ∥BO？

（2）设△AQP的面积为S，

①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；

②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．

102209?5?【答案】（1）当t=秒时，PQ∥BO（2）①S=??t??+5（0＜t＜），5②（，﹣3）

33115?3?【解析】解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8。 ∴AB?OB2?OA2?62?82?10。

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（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．

②如图②所示，当S取最大值时，t=53， ∴PD=6﹣915t=3，∴PD=2BO。 又PD∥BO，∴此时PD为△OAB的中位线，则OD=12OA=4。∴P（4，3）。 2

101414，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q（，0）。 333142依题意，“向量PQ”的坐标为（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）．

332∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，﹣3）。

3又AQ=2t=

2. 已知：如图一，抛物线y?ax?bx?c与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y?x?2经过A、C两点，且AB=2.

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（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E,D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒 ；设s?有最小值，并求出最小值。

（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。

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【答案】（1）y=-1/4 x+3/2 x-2（2）1（3）当t=2 /3 或t=10/ 7 时，以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，证明见解析

【解析】解：（1）由抛物线y=ax+bx-2得：C（0，-2）， ∴OA=OC=2， ∴A（2，0）， ∵△ABC的面积为2，

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ED?OP，当t 为何值时，s

ED?OP∴AB=2， ∴B（4，0），

∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4），代入点C（0，-2）， a=-1/4 ，

∴抛物线的解析式为y=-1/4 (x-2)(x-4)=-1/4 x2+3/2 x-2， 答：抛物线的解析式为y=-1/4 x+3/2 x-2． （2）解：由题意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t， ∵ED∥BA

可得：ED /OB =CE /CO ， 即ED/4 =CE/2 ， ∴ED=2CE=2t，

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②解：由题意可求：CD= 5 t，CB=2 5 ， ∴BD=2 5 - 5 t， ∵∠PBD=∠ABC，

∴以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：

（1）求出C的坐标，得到A、B的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4），代入点C的坐标求出a即可；

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