2019届广州市普通高中毕业班综合测试(一)(理数)

2019届广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数 学（理科）

本试卷共5页，23小题， 满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用

2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。写在本试卷上无效。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的． 1． 已知集合A?xx?2x?0，B?x2??，则

A．A?2??x?B?? B．AB?R C．B?A D．A?B

2． 已知a为实数，若复数?a?i??1?2i?为实数，则a=

A．2

2B．

1 2C．?1 2D．?2

y2223． 已知双曲线C:x?2?1的一条渐近线过圆P:?x?2???y?4??1的圆心，则C的离心率

b为 A．5 2B．

3 2C．5 D．3

4． 刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首

创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限 逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二 边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内投放a

粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内(a,b?N,b?a)，则 圆周率的近似值为 A．

?ba3a3b B． C． D． abba1

5． 若等边三角形ABC的边长为1，点M满足CM?CB?2CA，则MAMB? A．3 B．2

C．23 D．3

26． 设Sn是等差数列?an?的前n项和，若m为大于1的正整数，且am?1?am?am?1?1，S2m?1?11，

则m?

A．11

B．10 C．6

D．5

7． 如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔

打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T。若鱼缸水深为 h时，水流出所用时间为t，则函数h?f?t?的图象大致是

8． 2?x?3??x?a?的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x54的系数是

A．5 B．10 C．15 D．20 9． 已知函数f?x??cos??x???的最大值是 A．

????是奇函数，且在?,?上单调递减，则? ??0,0????????43?123 B． C． D．2 23210．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的

四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为 A．

13? B．7? 215?C． D．8?

2211．已知以F为焦点的抛物线C:y?4x上的两点A，B，满

足AF??FB??1????3?，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是 ?3?810 C． D．4 33A．2 B．

2

?x2?1, x?1?12．已知函数f?x???x，的图象上存在关于直线x?1对称的不同两点，则实数a

?ln?x?a?, x?1?的取值范围是

2222 A．e?1,?? B．e?1,?? C．??,e?1 D．??,e?1

????????二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设Sn是等比数列?an?的前n项和，若S3?6，S6?27，则a1? 。 14．若函数f?x??ax?3的图象在点?1,f?1??处的切线过点?2,4?，则a? 。 x?2x?y?1?0?15．已知关于x，y的不等式组?x?m?0，表示的平面区域内存在点P?x0,y0?，满足

?y?2?0?x0?2y0?2，则m的取值范围是 。

16．已知直四棱柱ABCD?A，AC1BC11D1的所有棱长都是1，∠ABC＝60°

BD?O，

AC11B1D1?O1，点H在线段OB1上，OH?3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥

M?C1O1H的体积的最小值为 。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试

题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．(12分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccosB??3a?b?cosC。 （1）求sinC的值；

（2）若c?26，b?a?2，求△ABC的面积.

18．(12分)

如图，在三棱锥A?BCD中，△ABC是等边三角形， ∠BAD=∠BCD=90°，点P是AC的中点，连接BP，DP. （1）证明:平面ACD?平面BDP；

（2）若BD=6，且二面角A?BD?C为120°，

求直线AD与平面BCD所成角的正弦值.

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19．(12分)

某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数?的分布列为

? P

2 0.4 3 4 a b 其中0

(1)求购买该商品的3位顾客中,恰有2位选择分2期付款的概率；

(2)商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元。商场销售两件该商品所获得的利润记为X(单位:元) （ⅰ）求X的分布列；

（ⅱ）若P(X≤500)≥0.8,求X的数学期望EX的最大值.

20．(12分)

x2y222已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的两个焦点和两个顶点在图O:x?y?1上。

ab（1）求椭圆C的方程

（2）若点F是C的左焦点,过点P(m,0)(m≥1)作圆O的切线l，l交C于A，B两点。求△ABF

的面积的最大值.

21．(12分)

已知函数f?x??e2x?ax2，a?R。

（1）若f?x?在(0,+∞)上单调递增,求a的取值范围； （2）若f?x?在(0,+∞)上存在极大值M,证明： .

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