2016-2017学年高中数学第2章概率2.6.1连续型随机变量2.6.2正态分布学业分层测评北师大版选修2-3

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第2章 概率 2.6.1 连续型随机变量 2.6.2 正态分布学业分层测评 北师大版选修2-3

(建议用时：45分钟)

学业达标]

一、选择题

?1?1．设随机变量ξ～N(2,2)，则D?ξ?＝( ) ?2?

A．1 1

C. 2

【解析】 ∵ξ～N(2,2)，∴Dξ＝2. 11?1?1

∴D?ξ?＝2Dξ＝×2＝.

42?2?2【答案】 C

2．下列函数是正态密度函数的是( ) A．f(x)＝

12σπ2π

2π

，μ，σ(σ>0)都是实数

B．2 D．4

B．f(x)＝

1

C．f(x)＝

22πD．f(x)＝

12π

【解析】 对于A，函数的系数部分的二次根式包含σ，而且指数部分的符号是正的，故A错误；对于B，符合正态密度函数的解析式，其中σ＝1，μ＝0，故B正确；对于C，从系数部分看σ＝2，可是从指数部分看σ＝2，故C不正确；对于D，指数部分缺少一个负号，故D不正确．

【答案】 B

3．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X＞4)等于( )

A．0.158 8 C．0.158 6

B．0.158 7 D．0.158 5

【解析】 由于X服从正态分布N(3,1)，

故正态分布曲线的对称轴为x＝3， 所以P(X＞4)＝P(X＜2)，

1－P2≤X≤4

故P(X＞4)＝＝0.158 7.

2【答案】 B

4．某厂生产的零件外直径X～N(8.0,0.022 5)，单位：mm，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9 mm和7.5 mm，则可认为( )

A．上、下午生产情况均为正常 B．上、下午生产情况均为异常

C．上午生产情况正常，下午生产情况异常 D．上午生产情况异常，下午生产情况正常

【解析】 根据3σ原则，在(8－3×0.15,8＋3×0.15]即(7.55,8.45]之外时为异常．结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常．

【答案】 C

5．如果随机变量X～N(μ，σ)，且EX＝3，DX＝1，则P(0

22

B．0.723 D．0.64

【解析】 由EX＝μ＝3，DX＝σ＝1， ∴X～N(3,1)，

∴P(μ－3σ

P(μ－2σ

∴P(0

6．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点．

【解析】 由正态曲线关于直线x＝μ对称且在x＝μ处达到峰值和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2.

【答案】 0.2

7．已知正态分布总体的数据落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的均值为________．

【解析】 区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x＝1对称，所以均值μ为1. 【答案】 1

8．(2016·哈尔滨高二检测)如果随机变量ξ～N(－1，σ)，且P(－3＜ξ≤－1)＝0.4，则P(ξ≥1)＝________.

【解析】 P(ξ≥1)＝P(ξ≤－3)＝0.5－P(－3＜ξ≤－1)＝0.5－0.4＝0.1. 【答案】 0.1 三、解答题

9．在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2，σ)(σ>0)，若X在(0,2]内取值的概率为0.2，求：

(1)X在(0,4]内取值的概率； (2)P(X>4)．

【解】 (1)由于X～N(2，σ)，对称轴x＝2，画出示意图如图．

因为P(0

11

(2)P(X>4)＝1－P(0

22

10．一建筑工地所需要的钢筋的长度X～N(8,2)，质检员在检查一大批钢筋的质量时，发现有的钢筋长度小于2米，这时，他是让钢筋工继续用切割机截钢筋呢，还是停下来检修切割机？

【解】 由于X～N(8,2)，根据正态分布的性质可知，正态分布在(8－3×2,8＋3×2)之外的取值概率仅为0.3%，长度小于2米的钢筋不在(2,14)内，所以质检员应让钢筋工马上停止切割，并对切割机进行检修．

能力提升]

1．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ

( )

A．1 C．3

【解析】 ∵ξ～N(2,9)， ∴P(ξ>c＋1)＝P(ξ<3－c)．

又∵P(ξ>c＋1)＝P(ξ

2．已知一次考试共有60名学生参加，考生的成绩X～N(110，5)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内( ) 【导学号：62690049】

A．(90,110) C．(100,120)

B．(95,125) D．(105,115)

2

2

2

2

2

2

B．2 D．4

【解析】 P(100＜X＜120)＝P(110－2×5＜X＜110＋2×5)＝95.4%， 又95.4%×60＝57.24%≈57%. 故选C. 【答案】 C

3．已知正态分布N(μ，σ)的密度曲线是f(x)＝个命题：

①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；

②如果随机变量X服从N(μ，σ)，且F(x)＝P(X

④随机变量X服从N(μ，σ)，P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(0

2其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号) 【解析】 画出正态分布N(μ，σ)的密度曲线如图： 由图可得：

22

2

2πσ1

，x∈R.给出以下四

①图象关于x＝μ对称，故①正确；

②随着x的增加，F(x)＝P(ξ

③如果随机变量ξ服从N(108,100)，那么ξ的期望是108，标准差是10； ④由图象的对称性，可得④正确．故填①②④. 【答案】 ①②④

4．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

图2-6-5

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ)，其中μ近－22

似为样本平均数x，σ近似为样本方差s.

①利用该正态分布，求P(187.8

②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求EX.

附：150≈12.2.

若Z～N(μ，σ)，则P(μ－σ

【解】 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s分别为 －

2

2

2

x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋

230×0.02＝200，

s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋

20×0.08＋30×0.02＝150.

(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8

②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.683，依题意知

2

2

X～B(100,0.683)，所以EX＝100×0.683＝68.3.