成人高考数学基本知识思想方法

高 中 05 级 复 习 用 资 料

过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点(cos?,sin?)及余弦定理进行转化达到解题目的。

三、

分类讨论的数学思想

分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。

1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：

（1）涉及的数学概念是分类讨论的；

（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的； （3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；

（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的； （5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。 2.分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏 ，包含各种情况，同时要有利于问题研究。

四、

化归与转化思想

所谓化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂的问题通过变化转化为简单的问题，将难解问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题。

立体几何中常用的转化手段有

1.通过辅助平面转化为平面问题，把已知元素和未知元素聚集在一个平面内，实现点线、线线、线面、面面位置关系的转化；

2.平移和射影，通过平移或射影达到将立体几何问题转化为平面问题，化未知为已

第 21 页 共20 页

高 中 05 级 复 习 用 资 料

知的目的； 3.等积与割补； 4.类比和联想； 5.曲与直的转化；

6.体积比，面积比，长度比的转化；

7.解析几何本身的创建过程就是“数”与“形”之间互相转化的过程。解析几何把数学的主要研究对象数量关系与几何图形联系起来，把代数与几何融合为一体。

中学数学常用解题方法

1.

配方法

配方法是指将一代数形式变形成一个或几个代数式平方的形式，其基本形式是：ax2+bx+c=a(x?b)2?4ac?b(a?0).高考中常见的基本配方形式有：

22a4a（1） （2） （3） （4）

a2+b2= (a + b)2- 2a b = (a -b) 2+ 2 ab; （2） a2+ b2+ ab =(a?1b)2?(3b)2;

22（3）a2+ b2+c2= (a＋b + c)2- 2 ab – 2 a c – 2 bc; (4) a2+ b2+ c2- a b – bc – a c = （5） x2?112?(x?)?2; x2x1[ ( a - b)2 + (b - c)2 + (a - c)2]; 2配方法主要适用于与二次项有关的函数、方程、等式、不等式的讨论，求解与证明及二次曲线的讨论。 2.待定系数法

㈠ 待定系数法是把具有某种确定性时的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决。待定系数法的主要理论依据是：

（1）多项式f(x)=g(x)的充要条件是：对于任意一个值a，都有f（a）＝g(a); （2）多项式f(x) ≡g(x)的充要条件是：两个多项式各同类项的系数对应相等； ㈡ 运用待定系数法的步骤是：

第 22 页 共20 页

高 中 05 级 复 习 用 资 料

（1）确定所给问题含待定系数的解析式（或曲线方程等）； （2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决；

㈢ 待定系数法主要适用于：求函数的解析式，求曲线的方程，因式分解等。 3.换元法

换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量（或代数式），对新的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果。换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题。其理论根据是等量代换。高中数学中换元法主要有以下两类： （1）整体换元：以“元”换“式”； （2）三角换元 ，以“式”换“元”； （3）此外，还有对称换元、均值换元、万能换元等；换元法应用比较广泛。如解方程，解不等式，证明不等式，求函数的值域，求数列的通项与和等，另外在解析几何中也有广泛的应用。运用换元法解题时要注意新元的约束条件和整体置换的策略。 4.向量法

向量法是运用向量知识解决问题的一种方法，解题常用下列知识：

（1）向量的几何表示，两个向量共线的充要条件；（2）平面向量基本定理及其理论；

（3）利用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题； （4）两点间距离公式、线段的定比分点公式、平移公式； 5.分析法、综合法

（1）分析法是从所求证的结果出发，逐步推出能使它成立的条件，直至已知的事实为止；分析法是一种“执果索因”的直接证法。

（2）综合法是从已经证明的结论、公式出发，逐步推出所要求证的结论。综合法是一种“由因导果”，叙述流畅的直接证法。

第 23 页 共20 页

高 中 05 级 复 习 用 资 料

（3）分析法、 综合法是证明数学问题的两大最基本的方法。分析法“执果索因”的分析方法，思路清晰，容易找到解题路子，但书写格式要求较高，不容易叙述清楚，所以分析法、综合法常常交替使用。分析法、 综合法应用很广，几乎所有题都可以用这两个方法来解。 6.反证法

反证法是数学证明的一种重要方法，因为命题p与它的否定非p的真假相反，所以要证一个命题为真，只要证它的否定为假即可。这种从证明矛盾命题（即命题的否定）为假进而证明命题为真的证明方法叫做反证法。 ㈠ 反证法证明的一般步骤是：

（1）反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

（2）归谬：从命题的条件和所作的结论出发,经过正确的推理论证,得出矛盾的结果； （3）结论：有矛盾判定假设不正确，从而肯定的结论正确；

㈡ 反证法的适用范围：（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少时的命题；

（2）结论的反面是比原结论更具体、更简单的命题，特别是结论是否定形式（“不是”、“不可能”、“不可得”）等的命题；（3）涉及各种无限结论的命题；（4）以“最多（少）、若干个”为结论的命题；（5）存在性命题；（6）唯一性命题；（7）某些定理的逆定理；

（8）一般关系不明确或难于直接证明的不等式等。 ㈢ 反证法的逻辑依据是“矛盾律”和“排中律”。 7.另外:还有数学归纳法、同一法、整体代换法等.

第 24 页 共20 页