热点问题8 解析几何中的定点、定值问题（17教师版）

苏州市高三数学二轮复习资料热点问题

热点问题8 解析几何中的定点、定值问题

一、填空题

1．已知a∈R，直线l：(a－1)x＋2ay＋3=0,则直线l经过的定点的坐标为 ．

3??【答案】 ?3,??

2???x?2y?03??【解析】 由a(x?2y)??3?x??0知，直线l经过两直线?的交点，即点?3,??．

2???3?x?02．已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都过点A(1，2)，则过点P1(a1,b1)、P2(a2,b2)的直线l的方程为 . 【答案】 x+2y+1=0 【解析】已知a1+2b1+1=0和a2+2b2+1=0，则过点P1(a1,b1)、P2(a2,b2)的直线l的方程为x+2y+1=0.

x2y2

3．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，

94

线段AB的中点在C上，则|AM|＋|BM|＝______． 【答案】 12

【解析】取AB的中点为G，点G在椭圆C上．设点M关于C的焦点F1的对称点为A，点M

11

关于C的焦点F2的对称点为B，则有|GF1|＝|AM|，|GF2|＝|BM|，所以|AM|＋|BM|＝2(|GF1|＋|GF2|)

22

＝4a＝12.

x2y2

4．双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双

ab

曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________． 【答案】 2

【解析】 不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，如图所示．因为四边形OABC为正方形，ππb

|OA|＝2，所以c＝22.因为直线OA是双曲线的一条渐近线，∠AOB＝，所以＝tan＝1，

4a4即a＝b，又a2＋b2＝c2＝8，所以a＝2.

5．已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x

轴交于C，D两点．若|AB|＝23，则|CD|＝________． 【答案】4

|3m－3|2【解析】 直线l：m(x＋3)＋y－3＝0过定点(－3，3)，又|AB|＝23，所以＋(3)2

2

1＋m

3

＝12，解得m＝－.直线方程中，当x＝0时，y＝23.又(－3，3)，(0，23)两点都在圆上，

3

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则直线l与圆的两交点为A(－3，3)，B(0，23)． 设过点A(－3，3)且与直线l垂直的直线为3x＋y＋c1＝0，将(－3，3)代入直线方程3x＋y＋c1＝0，得c1＝23.令y＝0，得xC＝－2，同理得过点B且与l垂直的直线与x轴交点的横坐标为xD＝2，所以|CD|＝4. 6．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4，P为圆C上一点．若存在一个定圆

M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60?，则圆M的方程为 ． 【答案】 (x－1)2＋y2＝1

【解析】 设定圆圆心M?a,b?，半径为r，动点P?x,y?，由题意知MP?2r， 即?x?a???y?b??4r，由于点P在圆C：(x－1)2＋y2＝4上，所以有

222?2?2a?x?2by?a2?b2?4r2?3?0对任意x,y都成立，所以a?1,b?0,r2?1，

所求圆方程为(x－1)2＋y2＝1．

x2y2

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，B，C分

ab7

别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为D.若cos∠F1BF2＝，则直线CD的斜

25率为________．

【答案】

12 25

a2＋a2－4c2773

【解析】由cos∠F1BF2＝，及余弦定理得＝，解得e＝.设点D(－acosθ，－bsinθ)，

252a2255－bsinθ－b－bsinθ＋bb2bbc

又点B(0，b)，C(0，－b)，所以kBD·kCD＝·＝－2＝－·kCD，所以kCD＝2

aca－acosθ－acosθ12

＝. 25

8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－(6－2m)x－4my＋5m2－6m＝0，直线l经过点

(－1，1)．若对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长为定值，则直线l的方程为 ． 【答案】 2x?y?1?0

【解析】 由条件知圆心C?3?m,2m?在直线2x?y?6?0上，若对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长都是定值，则直线l与圆心所在直线平行，再代入点(－1，1)得直线l的方程为2x?y?1?0． 二、解答题

x2y2

9. 设F1，F2分别是椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B

ab

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两点，|AF1|＝3|F1B|.

(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|； 3

(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．

5

【解析】(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.

因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝8. 故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.

(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得 |AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k. 在△ABF2中，由余弦定理可得

|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2·cos∠AF2B， 6

即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)· (2a－k)，

5化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k， 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.

因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A. 故△AF1F2为等腰直角三角形， 从而c＝

2c2a，所以椭圆E的离心率e＝＝. 2a2

x2y23

10.已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为

ab21.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|AN|·|BM|为定值．

?x

【解析】(1)由题意得?1解得a＝2，b＝1.所以椭圆C的方程为＋y＝1.

4ab＝1，

2

?a＝b＋c，

2

2

2

2

2

c3＝，a2

(2)证明：由(1)知，A(2，0)，B(0，1)．

2

设P(x0，y0)，则x20＋4y0＝4.

y0

当x0≠0时，直线PA的方程为y＝(x－2)．

x0－22y02y0

令x＝0，得yM＝－，从而|BM|＝|1－yM|＝1＋.

x0－2x0－2y0－1

直线PB的方程为y＝x＋1.

x0

x0x0

令y＝0，得xN＝－，从而|AN|＝|2－xN|＝2＋.

y0－1y0－1所以|AN|·|BM|＝2＋

x02y0

·1＋ y0－1x0－2

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2x0＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋44x0y0－4x0－8y0＋8＝＝＝4.

x0y0－x0－2y0＋2x0y0－x0－2y0＋2

当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，

所以|AN|·|BM|＝4. 综上，|AN|·|BM|为定值．

x2y2【说明】一般性结论，即P是椭圆C2?2?1(a?0，b?0)上一点，A为椭圆的右顶点，B为椭

ab圆的上顶点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则|AN|·|BM|=2ab.

x2y2

11. 已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M(0，2)是椭圆的一个顶点，△F1MF2

ab

是等腰直角三角形． (1)求椭圆的方程；

(2)过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2

1

－，－2?. ＝8，证明：直线AB过定点??2?

【解析】(1)因为b＝2，△F1MF2是等腰直角三角形，所以c＝2，所以a＝22，

x2y2

故椭圆的方程为＋＝1.

84

(2)证明：①若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A点坐标为(x1，y1)，B点坐

x2y2??8＋4＝1，

标为(x2，y2)，联立方程得，?消去y，得

??y＝kx＋m，

(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，

2m2－84km

则x1＋x2＝－，xx＝.

1＋2k2121＋2k2y1－2y2－2

由题知k1＋k2＝＋＝8，

x1x2

kx1＋m－2kx2＋m－2x1＋x2

所以＋＝8，即2k＋(m－2)＝8.

x1x2x1x2mk1

所以k－＝4，整理得m＝k－2.

2m＋2

11

x＋?－2. 故直线AB的方程为y＝kx＋k－2，即y＝k??2?2

1

－，－2?. 所以直线AB过定点??2?

②若直线AB的斜率不存在，设直线AB的方程为x＝x0，A(x0，y0)，B(x0，－y0)，

y0－2－y0－2

则由题知＋＝8，

x0x0

111

－，－2?. 得x0＝－.此时直线AB的方程为x＝－，显然直线AB过点??2?22

1

－，－2?. 综上可知，直线AB过定点??2?

12.如图，平行四边形AMBN的周长为8，点M，N的坐标分别为(－3，0)，(3，0)． (1)求点A，B所在的曲线L方程；

(2) 过 L上点C(－2，0)的直线l与L交于另一点D，与y轴交于点E，且l//OA．

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CD·CE求证：为定值．

OA2

【解析】 (1)因为四边形AMBN是平行四边形，周长为8 y 所以两点A，B到M，N的距离之和均为4>23，可知所求曲线为椭圆． 由椭圆定义可知，a＝2，c＝3，b＝1．

x22

曲线L方程为＋y＝1（y≠0）．

4

(2)由已知可知直线l的斜率存在．

因为直线l过点C(－2，0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)， M O 2x

代入曲线方程＋y2＝1(y≠0)，并整理得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0． 4

－8k2＋24k

B 因为点C(－2，0)在曲线上，则D(，)，E(0，2k)， 1＋4k21＋4k2

A N x 41＋k2

所以CD＝，CE＝21＋k2． 2

1＋4k

因为OA//l，所以设OA的方程为y＝kx ，代入曲线方程，并整理得(1＋4k2)x2＝4．

２２4k4＋4k42

所以xA＝，y2＝，所以OA2＝，

1＋4k2A 1＋4k2 1＋4k2CD·CECD·CE化简得＝2，所以为定值． 2

OAOA2

【说明】本题考查用定义法求椭圆方程知识及直线与椭圆相交的有关线段的计算与证明．

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