2017年度高三一轮复习资料课程教案-导数的概念及其运算

,.

1∴a≠－. 2

??1??1

∴a的取值范围是?－∞，－?∪?－，＋∞?.

2??2??

1

10．(2016·临沂一模)已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.

3(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；

(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．

解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3， 则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，

即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，

k≥－1，??

则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，?1

－≥－1，??k解得－1≤k<0或k≥1，

故由－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1， 得x∈(－∞，2－

2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．

B组 高考题型专练

1．(2015·高考福建卷)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1，则下列结论中一定错误的是( )

?1?1

A．f??<

?k?k?1?1

?

?1?1

B．f??> kk－1???1?k?>D．f? k－1k－1??

,.

3

解析：取满足题意的函数f(x)＝2x－1，若取k＝，则

2

?1??2?121

f??＝f??＝<＝，所以排?k??3?33k11

10?1?11k11?＝f除A；若取k＝，则f?＝f(10)＝19>11＝＝，所以排除D；

k－11011k－1－1??10－1

10

???

1

???

?1??1?11????取满足题意的函数f(x)＝10x－1，若取k＝2，则f＝f＝4>1＝＝，所以排2－1k－1?k??2?

除B.故结论一定错误的是C.

答案：C

2．(2014·高考江西卷)若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．

1

解析：y′＝ln x＋x·＝1＋ln x，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，n)，则1＋ln mx＝2，解得m＝e，所以n＝eln e＝e.即P(e，e)．

答案：(e，e)

3．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.

解析：因为f(x)＝ax3＋x＋1，所以f′(x)＝3ax2＋1，所以f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝3a＋1，又f(1)＝a＋2，所以切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，因为点(2,7)在切线上，所以7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.

答案：1

4．(2015·高考天津卷)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．

?1?

解析：f′(x)＝a?ln x＋x·?＝a(ln x＋1)，因为f′(1)＝3，所以f′(1)＝a＝3.

x??

答案：3

,.

1

5．(2015·高考陕西卷)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切

x线垂直，则P的坐标为________．

解析：y′＝ex，则

y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率

1

k切＝1，又曲线y＝(x>0)上点P处

x的切线与y＝ex在点(0,1)处的切线垂直，所以

1

y＝(x>0)在点P处的切线的斜率为－1，设

x1

P(a，b)，则曲线y＝(x>0)上点P处的切线的斜率为y′|x＝a＝－a－2＝－1，可得a＝1，又

x1

P(a，b)在y＝上，所以b＝1，故P(1,1)．

x答案：(1,1)