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广东省广州市天河区2020年中考数学一模试卷(含解析)

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  • 2025/7/12 5:07:32

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CNB(SAS)、△BFE≌△BFN(SAS),然后在Rt△NFC中,由勾股定理得:CF2+CN2=NF2,

将相关线段代入即可得出结论;

(3)如图3,延长GE,HF交于K,由(2)知EA2+CF2=EF2,变形推得S△ABC=S矩形BGKH,S△BGM=S四边形COMH,S△BMH=S四边形AGMO,结合已知条件S四边形AGMO:S四边形CHMO=8:9,设BG=9k,BH=8k,则CH=3+k,求得AE的长,用含k的式子表示出CF和EF,将它们代入EA2+CF2=

EF2,解得k的值,则可求得答案.

解:(1)如图1,

∵AC为直径, ∴∠ABC=90°, ∴∠ACB+∠BAC=90°, ∵AB=BC,

∴∠ACB=∠BAC=45°, ∴∠ADB=∠ACB=45°;

(2)线段EA,CF,EF之间满足的等量关系为:EA2+CF2=EF2.理由如下: 如图2,设∠ABE=α,∠CBF=β,

∵AD∥BF,

∴∠EBF=∠ADB=45°, 又∠ABC=90°, ∴α+β=45°,

过B作BN⊥BE,使BN=BE,连接NC,

21

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∵AB=CB,∠ABE=∠CBN,BE=BN, ∴△AEB≌△CNB(SAS), ∴AE=CN,∠BCN=∠BAE=45°, ∴∠FCN=90°.

∵∠FBN=α+β=∠FBE,BE=BN,BF=BF, ∴△BFE≌△BFN(SAS), ∴EF=FN,

∵在Rt△NFC中,CF2

+CN2

=NF2

, ∴EA2+CF2=EF2;

(3)如图3,延长GE,HF交于K,

由(2)知EA2+CF2=EF2

, ∴EA2+CF2=EF2, ∴S△AGE+S△CFH=S△EFK,

∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH=S△EFK+S五边形BGEFH, 即S△ABC=S矩形BGKH, ∴S△ABC=S矩形BGKH, ∴S△GBH=S△ABO=S△CBO,

∴S△BGM=S四边形COMH,S△BMH=S四边形AGMO, ∵S四边形AGMO:S四边形CHMO=8:9, ∴S△BMH:S△BGM=8:9, ∵BM平分∠GBH, ∴BG:BH=9:8, 设BG=9k,BH=8k, ∴CH=3+k,

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∵AG=3, ∴AE=3,

∴CF=

(k+3),EF=

(8k﹣3),

∵EA2

+CF2

=EF2

, ∴

+

=,

整理得:7k2

﹣6k﹣1=0, 解得:k1=﹣(舍去),k2=1. ∴AB=12, ∴AO=

AB=6, ∴⊙O的半径为6.

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