必修四导学案9、10

2012.7.18

必修4 第二章

§2-1、2 平面向量及运算法则复习导学案（9）

完成下面填空

1、向量：

（1）概念：既有 又有 的量叫做向量

?????（2）表示：可以用有向线段来表示，包含三个要素： 、 和 ；记为AB或 a????????????（3）模：AB的长度叫向量的模，记为|AB|或 |a| （4）零向量：零向量的方向是任意的单位向量是____________的向量. （5）相等向量： 的向量叫相等向量；

（6）共线向量： 的向量叫平行向量，也叫共线向量 2、向量运算的两个法则： 加法法则：

（1）平行四边形法则，要点是：统一起点；（2）三角形法则，要点是：首尾相接；

减法法则：向量减法运算满足三角形法则，要点是统一起点，从 指向 。

??3、实数?与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘,记作?a ，其长度与方向

??????规定如下：（1）|?a| = |?||a|；（2）?> 0 时，?a与a同向；?< 0 时，?a与a反

??向；（3）?= 0 时，?a=0

4、向量的线性运算满足：

????（1）?(?a)? （2）(???)a= （3）?(a?b)=

??????5、a//b ?b??a(a?0)其中??R且唯一

一、回答下列问题

1.给出下列命题：��

①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；�� ②两个单位向量是相等向量；�あ廴鬭=b, b=c,则a=c；

④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；⑤若|a|=|b|,则a=b。 错误！未找到引用源。若a与b共线, b与c共线,则a与c共线 其中正确命题的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2、如图所示，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,则AF?DB＝( ) A.FD B.FC C.FE D.BE

3、在平行四边形ABCD中，下列各式中成立的是（ ） A．AB?BC?CA B．AB?AC?BC C．AC?BA?AD D．AC?AD?DC

CF??????????????????????????????????????????EB?4．下面给出的四个式子中，其中值不一定为0的是（ ） ????????????????????????????A.AB?BC?CA B.OA?OC?BO?CO ?????????????????????????????????C.AB?AC?BD?CD D.NQ?QP?MN?MP

二、边听边练边落实

AD????????????????5．在平行四边形ABCD中，若AB?AD?AB?AD则必有 ( )

???????????????A. AD?0 B. AB?0或AD?0 C. ABCD是矩形 D. ABCD是正方形

6、如图所示，OADB是以向量OA=a，OB=b为边的平

B M

D

C NA 1

O 11BC，CN=CD．试用a，b表示OM，ON，MN． 337、设两个非零向量e1、e2不是平行向量

行四边形，又BM=

（1）如果AB=e1+e2，BC=2e1+8e2，CD=3(e1?e2)，求证A、B、D三点共线； （2）试确定实数k的值，使ke1+e2和e1+ke2是两个平行向量．

变式: 已知OA、OB不共线，OP=aOA+bOB． 求证：A、P、B三点共线的充要条件是a+b=1．

二、提高练习

1． 下面的几个命题：

①若a?b?b则a与b共线；②长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量；

????????③若a,b满足a?b且a与b同向，则a?b；

??④由于0方向不定，故0不能与任何向量平行；

??⑤对于任意向量a,b,有a?b?a?b?a?b 其中正确命题的序号是：（ ）

A.①②③ B.⑤ C.③⑤ D.①⑤

→→

2．设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且BC＝a，CA＝b，给出下列

1111→→→→→→

命题：①AB＝－ a－b ②BE＝a＋ b ③CF＝－ a＋ b ④AD＋BE＋CF＝0.其中正

2222

确的命题个数为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4

??????3.设两非零向量e1,e2，不共线，且k(e1?e2)//(e1?ke2)，则实数k的值为（ ） A．1 B．-1 C．?1 D．0

2

必修１ 第一章

§2-3、4平面向量复习导学案(10)

完成下面填空

1．平面向量的基本定理：

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a= （2）平面向量的坐标运算： 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。若

A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB=OB?OA=( x2， y2) ? (x1，y1)= (x2? x1， y2? y1)；实数与向

量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

2．平面向量的数量积

?（3）向量共线的两种判定方法：a∥ｂ(b?0)?a??b ? x1y2?x2y1?0。

（1）平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos?叫a与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，（０≤θ≤π）。并规定0与任何向量的数量积为0。注意：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定. （2）向量的数量积的几何意义：数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积. （3）两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是单位向量； 1? e?a = a?e =|a|cos?；2? a?b ? a?b = 0；

3? 当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = ?|a||b|. 特别地a?a = |a|2或|a|?4? cos? =

a?a a?b 5? |a?b| ≤ |a||b|。

|a||b|（4）向量的数量积满足下列运算律

???b，c与实数?。 已知向量a，???????①a?b＝___________（______律）②?a?b＝___________③a+b?c＝___________

????（5）平面向量数量积的坐标表示 （6）平面内两点间的距离公式

????已知非零向量a=?x1?y1?,b=?x2?y2?,a?b= ??2?设a=(x,y),a=___ 或a=___________ 。

3.向量垂直的判定

??a=?x1,y1?,b=?x2,y2?, 则a?b ? a?b = 0；?x1x2?y1y2?0

4．平面向量的应用

（1）能用平面向量知识处理平面几何中的一些问题，如长度、角、距离，平行、垂直等问题。

（2）用向量知识把日常生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型解决实际问题。

回答下列问题

1．下列说法中，正确的是（ ）

①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量。

3

Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ①②③

????2．若向量a= (1,1), b= (1,－1), c =(－1,2),则 c等于( )

1?3?1?3?3?1?3?1?b A、?a+b B、a?b C、a?b D、?a+

22222222????3.已知向量a?(?2,4) b?(1,?2)则a与b的关系是（ ）

A．不共线 B．相等 C．同向 D．反向

??4.已知a?(?1,3),b?(x,?1)，且a//b，则x=（ ）

11A．3 B．-3 C． D．?

33二、边听边练边落实

??5. 设e1,e2是同一平面内所有向量的一组基底，则以下各组向量中，不能作为基（ ）

??????????A. e1+e2和e1-e2 B. 3e1-2e2和4e1-6e2

???????C. e1+2e2和2e1+e2 D.e1+e2和e2

6.已知：｜a｜＝3，｜b｜＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时， 分别求a·b与| a+ b|

??????7．设向量a,b满足 a?b?1 及 3a?2b?7 ??（1）求 a,b 所成角的大小。

??（2）求 3a?b 的值。

三、提高练习

1.设向量a=（1,-3），b=（-2,4），c=（-1,-2），若表示向量4a、4b-2c、2（a-c）、d的有向线段依次首尾相接能构成四边形，则向量d为 ( ) A.（2,6） B.（-2,6） C.（2,-6） D.（-2,-6）

2．已知向量a?(3,4),b?(sin?,cos?),且a∥b，则tan?= （ ）

3344 B．? C． D．? 4343?3.设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为120，则（2e1－e2）（3e1＋2e2）＝ .

A．

4．若a＝（λ，2），b＝(－3，5），a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围为 （ ）

1010

A.（ ，+∞） B.［ ，+∞）

33

1010

C.（－∞， ） D.（－∞， ］

33

???????5．（江西卷文13）已知向量a，b满足|b|?2，a与b的夹角为60?，则b在a上的投影是

；

4