2019年高考数学一轮总复习 专题4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式练习(含解析)理

cos??0，所以有

2.化简

tan??11?，可求得tan???3，故正确选项为D.

tan??12sin(k???)cos?(k?1)????sin?(k?1)????cos(k???),k?Z

【答案】当k?2n,n?Z时，原式??1 当k?2n?1,n?Z时，原式?1

【知识链接】 六组诱导公式

角 函数 正弦 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α －sin_α cos_α[π－α ππ－α ＋α 22sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α －sin_α 余弦 cos_α －cos_α 来源:] －tan_α －cos_α sin_α 正切 tan_α tan_α －tan_α 对于角“

kπ

2

±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶

不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号” 【方法技巧】

(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其

步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定． (2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化． 题型四 扇形的弧长及面积公式

典例1. 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角。 【解析】(1)设圆心角是θ，半径是r，

2r＋rθ＝10??则?12θ·r＝4??2

??r＝1

????θ＝8

r＝4??

(舍)?1

θ＝，?2?

1

故扇形圆心角为。

2

典例2. 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ 【解析】设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40。

S＝θ·r2＝r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100， 当且仅当r＝10时，Smax＝100，θ＝2。 所以当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大。

典例3．已知一扇形所在圆的半径为10cm,扇形的周长是45cm,那么这个扇形的圆心角为__________ rad． 【答案】2.5 1212

【变式训练】 1. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是 ( )

2

A. 2 B. sin2 C.

sin1【答案】C 12

【解析】 ∵2Rsin1＝2，∴R＝，l＝|α|R＝，故选C. sin1sin1

2. (1)已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，试求这两个角的大小(用弧度表示).

(2)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角； (3)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？ 【解析】(1)设所求两角分别为α，β(α＞β). 因为1°＝π rad，所以由题意可得180D. 2sin1 ?α＋β＝1，??πα－β＝，?180? 1π

α＝＋，??2360解得?1π

β＝??2－360.

1π1π

所以所求两角的弧度数分别为＋，－. 23602360(2)设圆心角是θ，半径是r，则 2r＋rθ＝10，???12θ·r＝4，??2?r＝1，?

解得?

??θ＝8

r＝4，??

(舍去)或?1θ＝，?2?

1所以扇形的圆心角为. 2(3)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.

1212

又S＝θr＝r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)＋100≤100. 22当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2. 所以当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大. 【方法总结】 1nπr(1)弧度制下l＝|α|·r，S＝lr，此时α为弧度．在角度制下，弧长l＝，扇形面积S2180＝nπr2360，此时n为角度，它们之间有着必然的联系． (2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形． 知识交汇 【2017届福建福州外国语学校高三理上学期期中】若z=sinθ－+i(cosθ－)是纯虚数，则3545tanθ的值为 ．

【答案】?3 4考点：复数的基本概念. 同角三角函数之间的关系 【交汇技巧】本题考查复数的基本概念，考查同角三角函数之间的关系，是一个基础题，解题的过程中注意纯虚数的等价条件，根据复数是一个纯虚数，得到这个复数的实部为0，虚部不为0，解出关于?的正弦的值和余弦不等于的值，根据三角恒等式sin2??cos2??1 从而得到这个角的余弦值，根据同角的三角函数关系tan?? 练习检测 1．【2017届辽宁葫芦岛普通高中高三理上学期考试二】sin??150??的值为（ ） 31A．? B．? 22sin? ，得到正切值． cos?C．31 D． 22【答案】A 【解析】 1试题分析：sin??150????sin150???sin30???,故选A. 2考点：诱导公式. 2．【山西省临汾第一中学2017届高三全真模拟数学（理）】已知角?的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非法半轴重合，终边经过点P?1,?2?，则sin2?? A. ?254544 B. ? C. D. ? 5555【答案】D 3．【四川省南充市2017届第三次诊断考试数学（理）】若角?的终边经过点P0??3,?4?,则tan??（ ） A. 434 B. C. ? D. 345y4? ，故选A. x3 【答案】A 【解析】tan??