公开课问题就是答案之数列第一问

20.【2014·全国卷Ⅰ（理17）】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an?0，anan?1??Sn?1，其中?为常数. (Ⅰ)证明：an?2?an??；

（Ⅱ）是否存在?，使得{an}为等差数列？并说明理由.

【解析】：(Ⅰ)由题设anan?1??Sn?1，an?1an?2??Sn?1?1，两式相减

an?1?an?2?an???an?1，由于an?0，所以an?2?an?? …………6分

（Ⅱ）由题设a1=1，a1a2??S1?1，可得a2??1?1，由(Ⅰ)知a3???1 假设{an}为等差数列，则a1,a2,a3成等差数列，∴a1?a3?2a2，解得??4； 证明??4时，{an}为等差数列：由an?2?an?4知

数列奇数项构成的数列?a2m?1?是首项为1，公差为4的等差数列a2m?1?4m?3 令n?2m?1,则m?n?1，∴an?2n?1(n?2m?1) 2数列偶数项构成的数列?a2m?是首项为3，公差为4的等差数列a2m?4m?1 令n?2m,则m?n，∴an?2n?1(n?2m) 2*∴an?2n?1（n?N），an?1?an?2

因此，存在存在??4，使得{an}为等差数列. ………12分 22.【2014·全国卷Ⅱ（理17）】已知数列?an?满足a1=1，an?1?3an?1. （Ⅰ）证明an?1是等比数列，并求?an?的通项公式；

?2?（Ⅱ）证明：1?1?…+1?3.

a1a2an2【解析】 （1）

?a1=1,an+1=3an+1.n∈N*.111∴an+1+=3an+1+=3(an+).

222113∴{an+}是首项为a1+=,公比为3的等比数列。22213n3n-112(2)由（1）知an??，故an?，?n，

222an3-11121?1，当n?1时，?n?n-1； a1an3-131n11111113133所以??????1?1?2???n-1??（1-n）?， 123a1a2a3an33321-31-故

11113?????? a1a2a3an224.【2014·全国大纲卷（文17）】数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an+2.

（1）设bn=an+1-an，证明{bn}是等差数列； （2）求数列{an}的通项公式.

【解析】（1）由an+2=2an+1-an+2得an+2- an+1=an+1-an+2，即bn+1=bn+2,又b1=a2-a1=1. 所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列； （1） 由（1）得bn=1+2（n-1），即an+1-an=2n-1.于是

?(ak?1nk?1?ak)??(2k?1)

k?1n于是an-a1=n2-2n，即an=n2-2n +1+a1.又a1=1，所以{an}的通项公式为an=n2-2n +2. 27.【2014·安徽卷（文18）】数列?an?满足a1?1,nan?1?(n?1)an?n(n?1),n?N*.

an?(Ⅰ)证明：数列???是等差数列；

?n?(Ⅱ)设bn?3n?an，求数列?bn?的前n项和Sn. 【解析】（Ⅰ）证：由已知可得所以{an?1anaa??1，即n?1?n?1 n?1nn?1nana

}是以1?1为首项，1为公差的等差数列。

1na（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得n?1?(n?1)?1?n，所以an?n2，从而bn?n?3n

n Sn?1?3?2?3??3?3??n?123n3②

①

3Sn?1?32?2?33?3?34???（n-1）?3n?n?3n+1①－②得：

?2Sn?31?32?33???3n?n?3n+13?(1?3n)??n?3n+11?3(1?2n)?3n+1?3?2(2n?1)?3n+1?3所以Sn?4

31.【2014·北京卷（文15）】已知?an?是等差数列，满足a1?3，a4?12，数列?bn?满足b1?4，b4?20，且?bn?an?是等比数列.

（1）求数列?an?和?bn?的通项公式； （2）求数列?bn?的前n项和.

【解析】（I）设等差数列?an?的公差为d，由题意得：d?所以an?a1?(n?1)d?3n(n?1,2,L)， 设等比数列?bn?an?的公比为q，由题意得：q?3a4?a112?3??3， 33b4?a420?12??8，解得q?2.

b1?a14?3所以bn?an?(b1?a1)qn?1?2n?1，从而bn?3n?2n?1(n?1,2,L). （II）由（1）知，bn?3n?2n?1(n?1,2,L)，

31?2nn?1?2n?1， 数列?3n?的前n项和为n(n?1)，数列?2?的前n项和为1?21?2所以数列?bn?的前n项和为

3n(n?1)?2n?1. 2（

），满足

.

34.【2014·辽宁卷（理17）】已知首项都是1的两个数列

(1) 令，求数列的通项公式； (2) 若

，求数列

的前n项和.

，

【解析】（1）因为

an?1an??2,cn?1?cn?2 所以

bn?1bn

所以数列{cn}是以首项c1?1，公差d?2的等差数列，故cn?2n?1. （2）由bn?3n?1知an?cnbn?(2n?1)3n?1 于是数列

前n项和Sn?1?30?3?31???(2n?1)?3n?1

3Sn?1?31?3?32???(2n?1)?3n

相减得?2Sn?1?2?(31?32??3n?1)?(2n?1)?3n?2?(2n?2)?3n 所以Sn?(n?1)?3n?1.

7.(15年广东文科) 设数列?an?的前n项和为Sn，n???．已知a1?1，a2?35，a3?，且当n?2时，244Sn?2?5Sn?8Sn?1?Sn?1．

?1?求a4的值； ?2?证明：??an?1???3?求数列?an?的通项公式．

1?an?为等比数列； 2?7?1?【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）an??2n?1????8?2?n?1．

考点：1、

等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.

（18）（本小题满分12分）

已知数列?an?的前n项和Sn?(n?n)?3．

2n（Ⅰ）求lim（18）解： （I）limaa1a2ann?2?…?n＞3；（Ⅱ）证明：2． 2n??S12nnanS?Sn? ?limnn??Sn??Snn?lim(1?n??Sn?1) Sn

…………4分

?1?limSn?1,

n??SnlimSn?1n?111?lim??,

n??Sn??n?133nan2?.

n??S3na1?S`?6?3; 12

…………6分

所以lim （II）当n=1时，

当n?1时，

a1?2a2???? 22212n?Sn?Sn?1S1S2?S1???? 1222n21111111?(2?2)?S1?(2?2)?S2???(?)?S??Sn n?12221223(n?1)nn?Sn n2

…………10分

n2?nnn?3?3. 2n所以，当n?1时,

ana1a2?????3n. 22212n…………12分