常微分方程阶段复习题1

常微分方程阶段复习题

一、填空题

dy?xtany的所有常数解是 ． 1. 方程dx 2．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 ．

dy?x2?y2定义在矩形域R:?2?x?2,?2?y?2上，则经过点（0，0）dx的解的存在区间是 _______

4. 方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0有只含x的积分因子的充要条件是_______

dy5.求 =f(x,y)满足?(x0)?y0的解等价于求积分方程_______ ____________的连

dx 3．方程

续解。

dy6. 方程?(1?y2)2满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．

dxdy??f(x,y)初值唯一的 条件． 7．fy(x,y)连续是方程dx?P(x)dxdy8．?P(x)y?Q(x) 称为一阶线性方程，它有积分因子 e? ，其通解为 _________ 。 dx

9．函数f(x,y)称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果 _______ 。 10． 若?(x)为毕卡逼近序列??n(x)?的极限，则有?(x)??n(x)? ______ 。

1二、单项选择题

31.微分方程(y?)y???1的阶数为( )

(A) 一 (B)二 (C)三 (D)五 2. 微分方程xy??ylny?ylnx是 ( )

（A）可分离变量方程； （B）齐次方程； （C）一阶线性微分方程； （D）伯努利方程

dyyy?2? 的解为（ ） dxxx2（A）y?(lnx?C)x； （B）y?0；

3.微分方程

（C）y=(lnx+C)x和y=0； （D）以上都不对。

4.曲线上任意点的斜率为2x,且通过点（1，3）。则表示该曲线的函数为（ ）

（A）y=x?c （B）y?x?2

2(C)y?x?2 (D) y?2x?c （c为任意常数）

225.设f(x),f?(x)为已知的连续函数,则方程y??f?(x)y?f(x)f?(x)的解是( ) （A）y?f(x)?1?ce?f(x)?f(x)； （B）y?f(x)?1?ce； （D）y?f(x)?ce?f(x)?f(x)；

（C）y?f(x)?c?ce

6．微分方程ylnydx?(x?lny)dy?0是（ ）

（A）可分离变量方程 （B）线性方程 （C）全微分方程 （D）贝努利方程

1

7. 方程

dy?dx3y(0?y??)过点(0, 0)有（ ）．

3dy),需作变换 ( ). dx3（A）y??p （B） y?3=p （C）x?u （D）不需变换

8．求解方程x?y??3xy??0(注y?? (A) 一个解 (B) 两个解 (C) 无数个解 (D) 三个解 9．方程x(y2－1)dx+y(x2－1)dy=0的所有常数解是（ ）．

(A) x??1 (B)y??1 (C)y??1, x??1 (D)y?1, x?14. 10．方程

dy?1?y2过点(0, 0)的解为y?sinx，此解存在区间是（ ）． dx （A）(??,??) （B）(??,0] （C）[0,??) （D）[???,] 22三、求下列方程的通解或通积分：

dy?e?y(x?x3) 1．dx 2．x 3.

2dy?xy?y2 dxdy?y?xy5 dx 2

4．2xy2?3x2y3dx?y4dy?0

5．(x2?1?y)dx?xdy?0

6.ey??y??x?0

7. (x?1)dy?ny?(1?x)n?1exdxsinx

3

8. xdy?ydx?(x2?4y2)dx

9.已知f(x)?f(t)dt=1,x?0,试求函数f(x)的一般表达式。

0x

四．求方程

dy?x?y2经过（0，0）的第三次近似解 dx

五．

1.已知某曲线经过点(1? 1)? 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标? 求它的方程?

4