导数与微分25（综合题及答案）

40、

　　一质点沿曲线y?3x3?2x运动,其横坐标随时间t的变化规律为x?et(t的单位是秒,x的单位是米),求质点在点M(2，20)处：?1?横坐标的变化速率,(2)纵坐标的变化速率,(3)运动速度大小.41、

　　地面上空2公里处有一架飞机以每小时200公里作水平飞行,机上观察员正在用摄影机瞄准前方矿山(矿山高度略而不计).因飞机位置在改变,必须转动摄影机,才能保持矿山在视域内,问当俯角为900时,摄影机转动的角速度是多少?42、

　　设有一金属丝弓形,其弦长b以0.02厘米分的速率缩短为保持圆心角?不变,问当弓高h?2米,弦长b?4米时,弓高h 的变化率如何?43、

　　有一个上下底半径为别为5米和10米，高为10米的正圆台形盛器，如果以每分钟10立方米的速率将水注入该盛器中则当水面高度为2米时，水表面上升的速率为多少？44、

　　　设有一顶点在下的正圆锥形容器,高15米,容器口的半径是2.5米,若以每分钟2立方米的速率将水注入容器内,当长率.45、

水面高度为6米时,求(1)水面上升的速率,(2)水表面面积的增

　　有一截面为正方形的倒置棱台形盛器，它上下底边的长分别为20米和10米，高为10米，如果将水以每分钟30立方米的速率注入盛器中，求当水面高为5米时：(1)水表面上升的速率；(2)水表面的面积的增长率[注:设梭台上下底的面积分别为S1与S2 ,高为h,则棱台体1积V?h(S1?S2?S1S2)]346、

的速率在缩小分为使其表面积A保持不变,问当锥高h?3米时,半径R?4米其高和体积的变化率如何?A????注：正圆锥体表面积?? 222?(R?RR?h)???47、

　　设有一正圆锥体，其半径R以0.02米　　一个半径为a的球渐渐沉入盛有部分水的半径为b的圆柱形容器中(a?b),如果球以匀速c下沉,证明当球浸没一半时,容器中水面上升的速a2c率是2b?a2h??2提示：球缺的体积V??h(a?),其中a为球的半径,h为球缺的高.??3??48、

　　有一个长度为5米的梯子贴靠在铅直的墙上,假设其下端沿地板以3米的速率离开墙脚而滑动,则秒(1)当其下端离开墙脚1.4米时,梯子的上端下滑之速率为多少? (2)何时梯子的上、下端能以相同的速率移动?(3)何时其上端下滑之速率为4米49、

秒?　　设有一正圆锥体,其底半径以1.5厘米3厘米50、

的速率减少,其高以秒的速率在增加，当半径为40厘米时，高为30厘米时，其 秒体积及表面积的变化率是多少？体积和表面积是增加还是减少？　　溶液自深为18厘米,顶直径12厘米的正圆锥形漏斗中漏入一个直径为10厘米的圆柱形筒中,开始时漏斗中盛满了溶液,已知当溶液在漏斗中的深为12厘米时.其水平面下落之速率为1厘米圆柱形筒中溶液之水平面上升的速率为多少？51、

分，问此时

　　一个上下底半径分别4米,8米,高为20米的正圆台形容器其中盛满了水,现以每分钟2立方米的速率将水抽出,问当水 面高度为5米时,水表面下降的速主率的多少?52、

　　设f(x)的一阶导数连续,试讨论?(x)?x2f(x)在x?0处的二阶导数是否存在?53、

设　?(x)的一阶导数连续,且?(0)?0试讨论f(x)?x?(x)在x?0点处的二阶可导性．54、

　　设　　f(x)?xsinx．求f?(x)，并讨论f(x)的二阶可导性．55、

1?2xarctg，x?0，?　　设　　f(x)??试讨论f(x)在x ?　　0　，x?0?x?0处的二阶导数的存在性.56、

?x2tanx，x?0，　　设　f(x)??试讨论f(x)在x?0 　0　，x?0，?处的二阶导数存在性．　57、

?xsin2x，　x?0，　　设　f(x)??讨论f(x)在x?0处的 　　0，　x?0?二阶导数是否存在．58、

?1　　,x?0?讨论函数f(x)??1?x2在x?0处是否可微?

?1?x2　　，x?0?59、

?sinx　　，x?0讨论函数y(x)??2在x?0处是否可微?

x?2x　，x?0?60、

?ln(1?x2)　　，x?1讨论函数f(x)??在x?0处是否可微?

?x?1?ln2　　，x?161、

?x　　　　,x?0讨论函数f(x)??在x?0处是否可微?

?ln(1?x)　，x?062、

?sinx　　x?0讨论f(x)??在x?0处是否可微?

?arctgx　x?063、

x?0?sinx　讨论函数f(x)?? , 在x?0处是否可微?

arctgx　　　 x?0?64、

1?2xcos , x?0?　　讨论函数f(x)?? ,在x?0 处是否可微? x? , x?0?0 65、

　设f(x)在x?a处连续,而y(x)?f(x)sin(x?a)试讨论y(x)在x?a处是否可微?66、

2

?x2e?x　　,当x?1?讨论函数f(x)??1在x?1处是否可微?

?　　　　，当x?1?e67、

?coswx　　，x?0讨论函数f(x)??2在x?0处是否可微?

?2x?1　　，x?068、

?13?(x?8)　　,x?1讨论函数f(x)??9在x?1处是否可微?

?3x　　　　　,x?1?69、

?12x?(e?1)　　，x?0讨论函数f(x)??x在x?0处是否可微?

??2?sin2x　　　,x?070、

?ex?1　　，x?0?讨论函数f(x)??x在x?0处是否可微?

?　1　　　，x?0?71、

?2x?1　　，x?0?讨论函数f(x)??x在x?0处是否可微?

?　ln2　　，x?0?