双曲线的标准方程推导，解析式求解-教师版

年级:高二 学科：数学 教师：王鹏 上课日期：2月5日

直利教育2015年寒假

名师培优一对一教案

第2讲

双曲线的定义及标准方程

1、概念：如果把椭圆定义中的和改成差: |PF1|?|PF2|?2a或|PF2|?|PF1|?2a,即:

||PF1|?|PF2||?2a，其中a?0动点的轨迹会发生什么变化呢？

①若MF1?MF2?2a?F1F2，则轨迹是线段F1F2的延长线； 若MF2?MF1的延长线； 1?2a?F1F2，则轨迹是线段F2F②若F1F2?2a?MF1?MF2，则无轨迹；

③在0?2a?|F1F2|条件下轨迹是存在的，我们把这时得到的轨迹叫做双曲线.

[说明]通过对椭圆定义的类比，启发学生思考并发现2a与F1F2的大小关系与动点的轨迹的变化规律.

（1）当2a?2c时，双曲线 （2）当2a?2c时，射线 （3）当2a?2c时，无轨迹

2、概念形成 ? 双曲线定义 定义：平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫双曲线.这两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离|F1F2|叫做焦距. ? 双曲线定义中的注意点 在概念的理解中要注意：

（1）是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于F1F2 . （2）当|PF1|?|PF2|?2a时，动点的轨迹是与F2对应的双曲线的一支， 木受绳则直，金就砺则利

地址：彭州市朝阳中路366号17栋1单元1楼5号 电话：028-83892068

1

年级:高二 学科：数学 教师：王鹏 上课日期：2月5日

|PF2|?|PF1|?2a时为双曲线的另一支.

3、双曲线的标准方程的推导

可以仿照求椭圆的标准方程的做法，求双曲线的标准方程．

如图8-12建系，设F1F2?2c，取过点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则F1(?c,0)、F2(c,0)，设M是所求轨迹上的点. 依已知条件有

MF1?MF2??2a，

MF1?(x?c)2?y2，

MF2?(x?c)2?y2，?(x?c)2?y2?(x?c)2?y2??2a，

移项得：(x?c)?y（*）

再平方得：(a?c)x?ay?a(a?c)，

即(c?a)x?ay?a(c?a)，令b?c?a(c?b?0)

222222222222222222222 平方得：??2a?(x?c)2?y2，?(a2?cx)?a(x?c)2?y2

x2y2则bx?ay?ab，即2?2?1

ab222222x2y2222综上：焦点在x轴上双曲线的标准方程是2?2?1①，其中c?a?b(c?a?0)，

ab焦点F1(?c,0)、F2(c,0).

[说明]对于标准方程的推导可以启发学生仿照求椭圆的标准方程的做法来完成，在建立直角

坐标系之前，可以让学生初步推断双曲线所具有的对称性，使建系更合理.

◆同样如果双曲线的焦点在y轴上(图8－13)，那么，此时的双曲线的标准方程又是怎样的呢？

焦点是F1(0，－c)、F2(0，c)时，a、b的意义同上，那么只要将方程①

y2x2的x、y互换，就可以得到焦点在y轴上双曲线的标准方程是2?2?1，

ab其中c?a?b(c?a?0)，焦点F1(0,?c)、F2(0,c).

[说明]双曲线的标准方程是指双曲线在标准状态下的方程，这里的标准状

态有两层含义：（1）双曲线的两个焦点均在坐标轴上，（2）这两个焦点的中心必须与原点重合.从这一方面理解，双曲线的标准方程就是在特殊的直角坐标系下的方程.

木受绳则直，金就砺则利

地址：彭州市朝阳中路366号17栋1单元1楼5号 电话：028-83892068

2

222 年级:高二 学科：数学 教师：王鹏 上课日期：2月5日

定义及性质对比 名 称 椭 圆 y双 曲 线 y 图 象 OxOx 平面内到两定点F1,F2的距离 的和为常数2a（2a?F1F2）的动点 的轨迹叫椭圆.即MF1?MF2?2a 定 义 当2a﹥2c时，轨迹是椭圆， 当2a=2c时，轨迹是一条线段F1F2 当2a﹤2c时，轨迹不存在 平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数2a（0?2a?F1F2）的动点的轨迹叫双曲线.即MF1?MF2?2a 当2a﹤2c时，轨迹是双曲线 当2a=2c时，轨迹是两条射线 当2a﹥2c时，轨迹不存在 x2y2焦点在x轴上时： 2?2?1 ab 标准方 程 ?a?b?0? y2x2焦点在y轴上时：2?2?1 abx2y2焦点在x轴上时：2?2?1 aby2x2焦点在y轴上时：2?2?1 ab注：是根据项的正负来判断焦点所 在的位置 ?a?b?0? 注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上 常数a2?c2?b2（符合勾股定理的结构） c2?a2?b2（符合勾股定理的结构） a,b,ca?c?0， c?a?0 c最大，可以a?b,a?b,a?b 的关 a最大，可以c?b,c?b,c?b 系

木受绳则直，金就砺则利

地址：彭州市朝阳中路366号17栋1单元1楼5号 电话：028-83892068

3

年级:高二 学科：数学 教师：王鹏 上课日期：2月5日

精题精讲

【例1】 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量a,b,c的值 x2y2x2y2??1 ②??1 ①4222x2y2y2x222???1 ④4y?9x?36 （2?2?1） ③4232分析：双曲线标准方程的格式：平方差，x项的系数是正的，那么焦点在x轴上，x项的分母是a；y项的系数是正的，那么焦点在y轴上，y项的分母是a 222222解：①是双曲线，a?2,b?② 是双曲线，a?③是双曲线，a?2,c?6 ；

2,b?2,c?2 ； 2,b?2,c?6 ；

④是双曲线，a?3,b?2,c?13 【例2】已知双曲线两个焦点的坐标为F1(?5,0)，F2(5,0)，双曲线上一点P到

F1(?5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程

解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为

x2y2?2?1(a?0,b?0) 2ab∵2a?6,2c?10 ∴a?3,c?5 ∴b?5?3?16 222x2y2??1 所求双曲线标准方程为

916

木受绳则直，金就砺则利

地址：彭州市朝阳中路366号17栋1单元1楼5号 电话：028-83892068

4