2006年全国中考数学压轴题全析全解(2)

2006年全国中考数学压轴题全解全析

11、（河北卷）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．

（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式； （2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？

（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由． A [解] （1）由题意知 CQ＝4t，PC＝12－3t， P

∴S△PCQ =

1PC?CQ??6t2?24t． 2∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称， ∴y=2S△PCQ ??12t2?48t． （2）当

C Q D B CPCQ时，有PQ∥AB，而AP与BQ不平行，这时四边形PQBA是梯形， ?CACB ∵CA=12，CB=16，CQ＝4t， CP＝12－3t， ∴

12?3t4t?，解得t＝2． 1216

∴当t＝2秒时，四边形PQBA是梯形．

（3）设存在时刻t，使得PD∥AB，延长PD交BC于点M，如图2，

若PD∥AB，则∠QMD=∠B，又∵∠QDM=∠C=90°，

∴Rt△QMD∽Rt△ABC，

A P D C Q 图2

M B 从而

QMQD， ?ABAC∵QD=CQ=4t，AC＝12， AB=122?162?20， ∴QM=

20t． 320t3， 16若PD∥AB，则解得t＝

12?3tCPCM?，得?12CACB4t?12． 1112∴当t＝秒时，PD∥AB．

11（4）存在时刻t，使得PD⊥AB．

时间段为：2＜t≤3．

[点评]这是一道非常典型的动态几何问题，考查相似形、图形变换等知识，难度比起2005年河北非课改区的那道压轴题略有降低，但仍保留了足够的区分度，在解第3小题时应当先假设结论存在，再根据已知求解，若出现矛盾，则说明结论不存在，第4小题应该通过画图来判断时间段。 12、（河北课改卷）图1至图7的正方形霓虹灯广告牌ABCD都是20×20的等距网格（每个小方格的边长均为1个单位长），其对称中心为点O．

如图1，有一个边长为6个单位长的正方形EFGH的对称中心也是点O，它以每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大（即点O不动，正方形EFGH经过一秒由6×6扩大为8×8；再经过一秒，由8×8扩大为10×10；……），直到充满正方形ABCD，再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小，然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小．

另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ从如图1所示的位置开始，以每秒1个单位长的速度，沿正方形ABCD的内侧边缘按A→B→C→D→A移动（即正方形MNPQ从点P与点A重合位置开始，先向左平移，当点Q与点B重合时，再向上平移，当点M与点C重合时，再向右平移，当点N与点D重合时，再向下平移，到达起始位置后仍继续按上述方式移动）．

正方形EFGH和正方形MNPQ从如图1的位置同时开始运动，设运动时间为x秒，它们的重叠部分面积为y个平方单位．

（1）请你在图2和图3中分别画出x为2秒、18秒时，正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重叠部分（重叠部分用阴影表示），并分别写出重叠部分的面积；

（2）①如图4，当1≤x≤3.5时，求y与x的函数关系式；

②如图5，当3.5≤x≤7时，求y与x的函数关系式； ③如图6，当7≤x≤10.5时，求y与x的函数关系式； ④如图7，当10.5≤x≤13时，求y与x的函数关系式． （3）对于正方形MNPQ在正方形ABCD各边上移动一周的过程，请你根据重叠部分面积y的变化情况，指出y取得最大值和最小值时，相对应的x的取值情况，并指出最大值和最小值分别是多少． C D C D C D C D

E H E H O O O O G F M N M N G F B A(P) B A B A Q B Q P A

图1 图4 图2 图3 C C D D C D E E H H E H

O O O M M N N M N G F F G F G B B A A B Q A Q P P P Q 图5 图7 图6

[解] （1）相应的图形如图2-1，2-2．

当x=2时，y=3； 当x=18时，y=18．

B C C E D C E M Q N H D C E H D

O O G F O M S T Q N K G P A

F P Q P A

B 图2-2

D

C A B D

C 图2-1 图2-3

D

E E H H

E H

O O O S N N M N K G F R T T F G F G

B B A A B Q Q A P P Q P

图2-4 图2-6 图2-5

（2）①当1≤x≤3.5时，如图2-3，

延长MN交AD于K，设MN与HG交于S，MQ与FG交于T，则MK=6＋x，SK=TQ=7－x，从而MS=MK－SK=2x－1，MT=MQ－TQ=6－（7－x）= x－1． ∴y=MT·MS=（x－1）（2x－1）=2x2－3x＋1．

②当3.5≤x≤7时，如图2-4，设FG与MQ交于T，则 TQ=7－x，∴MT=MQ－TQ=6－（7－x）=x－1． ∴y=MN·MT=6（x－1）=6x－6．

③当7≤x≤10.5时，如图2-5，设FG与MQ交于T，则 TQ=x－7，∴MT=MQ－TQ=6－（x－7）=13－x． ∴y= MN·MT =6（13－x）=78－6x．

④当10.5≤x≤13时，如图2-6，设MN与EF交于S，NP交FG于R，延长NM交BC于K，则MK=14－x，SK=RP=x－7，

∴SM=SK－MK=2x－21，从而SN=MN－SM=27－2x，NR=NP－RP=13－x． ∴y=NR·SN=（13－x）（27－2x）=2x2－53x＋351．

（3）对于正方形MNPQ，

①在AB边上移动时，当0≤x≤1及13≤x≤14时，y取得最小值0； 当x=7时，y取得最大值36．

②在BC边上移动时，当14≤x≤15及27≤x≤28时，y取得最小值0； 当x=21时，y取得最大值36．

③在CD边上移动时，当28≤x≤29及41≤x≤42时，y取得最小值0； 当x=35时，y取得最大值36．

④在DA边上移动时，当42≤x≤43及55≤x≤56时，y取得最小值0； 当x=49时，y取得最大值36．

[点评]2006年河北课改卷的压轴题也是一道动态问题，但相比非课改卷出得更加新颖别致，本题的图型运动情况比较复杂，应当先仔细阅读待读懂题意后在下笔。另外，在解第3小题时要充分利用前2小题的结论，是一道很好的压轴题。

13、（河南卷）二次函数y?12x的图象如图所示，过y轴上一点M?0，2?的直线与抛物线8交于A，B两点，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D．

（1）当点A的横坐标为?2时，求点B的坐标；

（2）在（1）的情况下，分别过点A，B作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，在EF上是否存在点P，使∠APB为直角．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点A在抛物线上运动时（点A与点O不重合），求AC?BD的值．

y [解] （1）根据题意，设点B的坐标为?x，x2?，其中x?0．

??18??D

B

1???点A的横坐标为?2，?A??2，?．

2???AC⊥y轴，BD⊥y轴，M?0，2?， ?AC∥BD，MC?M

A C O

x 312，MD?x?2． 28?Rt△BDM∽Rt△ACM． BDMD??． ACMC12x?2x8即?．

322解得x1??2（舍去），x2?8．

?B?8，8?．

（2）存在．

连结AP，BP．

1，BF?8，EF?10． 2设EP?a，则PF?10?a．

由（1），AE??AE⊥x轴，BF⊥x轴，∠APB?90?， ?△AEP∽△PFB． AEEP??． PFBF1a?2?． 10?a8解得a?5?21．经检验a?5?21均为原方程的解．

，0或3?21，0． ?点P的坐标为3?21????