大学解析几何

2、求点在直线上的投影、求点到直线的距离、求关于直线的对称点 方法：（1）过点作平面垂直于直线，该平面的法向量为直线的方向向量

（2）求直线和平面的交点，该交点为点在直线上的投影 例6（1）求点A(1,?1,0)到直线

x?2y?1z?1的距离，该点在直线上的投影 ??201?2y?3z?3?0（2）求点M(1,?1,0)到直线?的距离

x?y?0?3、直线在平面上的投影

方法：（1）过直线作平面和已知平面垂直，该平面的法向量为直线的方向向量和已知平面法向量的外积

（2）联立两个平面方程所得直线为该直线在平面上的投影 例7（1）求直线??2x?4y?z?0在平面4x?y?z?1?0上的投影直线的方程

?3x?y?2z?9?0?4x?5z?3?0?4y?7z?5，在xoz面上的投影为?，求

y?0x?0??（2）直线在yoz面上的投影为?直线在xoy面上的投影

?f(x,y,z)?04、曲线?在坐标面上的投影柱面及投影

g(x,y,z)?0?方法：（1）消去z得h1(x,y)?0，则?（2）消去x得h2(y,z)?0，则?（3）消去y得h3(x,z)?0，则?222?h1(x,y)?0为曲线在xoy面上的投影

z?0??h2(y,z)?0为曲线在yoz面上的投影

?x?0?h3(x,z)?0为曲线在xoz面上的投影

y?0?例（1）求球面x?y?z?9与平面x?z?1的交线在xoy面上的投影柱面及投影

22??2y?z?4x?4z（2）把曲线?的方程用母线平行于x轴和z轴的两个投影柱面方程表

22??y?3z?8x?12z示

解：消去x得母线平行于x轴的投影柱面方程y?z?4z；消去z得母线平行于z轴的

22??y?z?4z投影柱面方程y?4x?0，因此曲线可表示为?2

??y?4x?0222五、求平面方程

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?A1x?B1y?C1z?D1?01、过直线?的平面方程可设为

Ax?By?Cz?D?0222?2(A1x?B1y?C1z?D1)??(A2x?B2y?C2z?D2)?0

如果直线方程是点向式或参数式可转化为上述形式处理 例（1）在过直线??x?y?z?4?0的平面中找出一个平面，使原点到它的距离最长。

?x?2y?z?00（2）平面过OZ轴，且与平面y?z?0的夹角为60，求该平面方程

（两平面夹角等于两法向量的夹角或两法向量的夹角的补角） （3）求过点M(1,0,?1)和直线

x?2y?1z?1的平面方程 ??201（4）过直线??x?2z?4?0?x?y?4?0作平面，使它平行于直线?

?3y?z?8?0?y?z?6?0222 (5)过平面2x?y?0和4x?2y?3z?6的交线作切于球面x?y?z?4的平面 （6）求由平面2x?z?12?0,x?3y?17?0所构成的两面角的平分面方程 2、利用点法式求平面方程

注意：（1）任何垂直于平面的向量n均可作为平面的法向量

（2）和平面Ax?By?Cz?D?0平行的平面可设为Ax?By?Cz?D1?0

（3）如存在两个向量a?(a1,a2,a3)、b?(b1,b2,b3)和平面平行（或在平面内），则平

???i面的法向量为n?a?b?a1b1????ja2b2?ka3 b3?例（1）已知两直线为方程

x?1y?1z?1x?3y?1z?2????，，求过两直线的平面11?11?12（2）求过A(8,?3,1)和B(4,7,2)两点，且垂直于平面3x?5y?z?21?0的平面

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（3）一平面垂直于向量(2,1,2)且与坐标面围成的四面体体积为9，求平面方程

222（4）已知球面x?y?z?2x?4y?6z?0与一通过球心且与直线?平面相交，求它们的交线在xoy面上的投影 3、轨迹法求方程

?x?0垂直的

?y?z?0方法：（1）设平面上任一一点M(x,y,z)（2）列出含有x,y,z的方程化简的平面方程 例求由平面x?y?3z?1?0和x?y?3z?2?0所构成的二面角的平分面的方程 六、求直线方程

1、把直线的一般方程化为点向式方程

?A1x?B1y?C1z?D1?0方法：已知直线方程为?，则该直线的方向向量为

Ax?By?Cz?D?0222?2iv?A1A2??jB1B2?kC1?(v1,v2,v3) C2x?x0y?y0z?z0?? v1v2v3?在直线上任取一点(x0,y0,z0)，则直线方程为

例化直线的一般方程??2x?y?z?5?0为标准方程

2x?y?3z?1?0?2、根据直线的方向向量求直线方程

例（1）过点M(0,1,2)，且平行于两相交平面x?y?3z?1?0和x?y?3z?2?0的直线方程

?x?2z?1?0（2求过点M(2,4,0)，且与直线?平行的直线方程

y?3z?2?0?（3）求过点M(1,0,?2)，且与平面3x?4y?z?6?0平行，又与直线垂直的直线方程

注意：一直线和两直线垂直；一直线和两平面平行；一直线和一平面平行，和另一直线垂

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x?3y?2z??141直均可确定直线的方向向量

3、利用直线和直线的位置关系求直线方程 注意：（1）两直线平行，则向向量 （2）两直线

m1m2m3??，其中(m1,m2,m3)和(n1,n2,n3)为直线的方n1n2n3x?x0y?y0z?z0x?x1y?y1z?z1????和相交，则 m1m2m3n1n2n3x1?x0??m1n1y1?y0m2n2z1?z0m3n3?0且

m1m2m3?? n1n2n3x?x0y?y0z?z0x?x1y?y1z?z1????（3）两直线和异面，其中公垂线的m1m2m3n1n2n3i方向向量为v?m1n1??jm2n2?k|?|则两异面直线的距离为d??；公垂线方m3?(v1,v2,v3)，

|v|n3??x?x0??m1??v1程为??x?x1?n?1??v1y?y0m2v2y?y1n2v2z?z0m3?0v3z?z1n3?0v3

例（1）求通过点M(1,1,1)且与两直线方程

xyzx?1y?2z?3都相交的直线??和??123214解：设所求直线的方向向量为(a,b,c)，已知两直线的方向向量为(1,2,3)、(2,1,4)，且分别过点(0,0,0)、(1,2,3)

111则10?1?21b4?0，即a?2b?c?0 ca23?0，即a?2b?c?0；2abc故a?0,c?2b，故(a,b,c)?(0,1,2) 所求直线为

x?1y?1z?1?? 012111