大学解析几何

则M0M1的长等于半径R=1 故利用距离公式得

(x0?x0?y0?z02x?y0?z02x?y0?z02)?(y0?0)?(z0?0)?1

333222即所求方程为(2x0?y0?z0)?(?x0?2y0?z0)?(?x0?y0?2z0)?9

二、锥面

锥面是指过定点且与定曲线相交的所有直线产生的曲面。这些直线是母线，定点为顶点，定曲线为准线。

?f1(x,y,z)?01、设锥面的准线为?，顶点为M0(x0,y0,z0)，求锥面方程

f(x,y,z)?0?2方法：在准线上任取一点M1(x1,y1,z1)，则过点M1(x1,y1,z1)的母线为

x?x0y?y0z?z0?? （1）

x1?x0y1?y0z1?z0又因为M(x1,y1,z1)在准线上，故

f1(x1,y1,z1)?0 （2） f2(x1,y1,z1)?0 （2）

由（1）、（2）、（3）消去x1,y1,z1求出关于x,y,z的方程F(x,y,z)?0，则该方程为所求锥面方程

?x2y2?例1锥面的顶点在原点，且准线为?a2?b2?1，求这锥面方程。 ??z?c解：在准线上任取一点M1(x1,y1,z1)，则过点M1(x1,y1,z1)的母线为

xyz?? x1y1z1xy又因为M(x1,y1,z1)在准线上，故12?12?1且z1?c

ab22x2y2z2上面三个方程消去x1,y1,z1得2?2?2?0

abc2、圆锥面

已知圆锥面的顶点M0(x0,y0,z0)，对称轴（或轴）的方向向量为v?(v1,v2,v3)，求圆

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?锥面方程

方法：在母线上任取一点M(x,y,z)，则过该点的母线的方向向量为

?n?(x?x0,y?y0,z?z0)

利用v和n的夹角不变建立关于x,y,z的方程，该方程为所求

例2求以三根坐标轴为母线的圆锥面的方程。（(x?y?z)2?x2?y2?z2） 解：在坐标轴上取三点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，则过三点的平面为

??x?y?z?1

故对称轴的方向向量为(1,1,1)，一条母线的方向向量为(1,0,0)， 则母线和对称轴的夹角为1?1?1?0?1?0?3?1?cos?，即cos???3 3在母线上任取一点M(x,y,z)，则过该点的母线的方向向量为n?(x,y,z)

x?y?z?x2?y2?z2?3cos?

所以(x?y?z)?x?y?z

例3圆锥面的顶点为(1,2,3)，轴垂直于平面2x?2y?z?1?0，母线和轴成30，求圆锥面方程

解：在母线上任取一点M(x,y,z)，轴的方向向量为(2,2,?1)，母线的方向向量为

?02222n?(x?1,y?2,z?3)

则2(x?1)?2(y?2)?(z?3)?2(x?1)2?(y?2)2?(z?3)2?9cos300

222即 4(2x?2y?z?3)?27(x?1)?27(y?2)?27(z?3) 三、旋转曲面

?f1(x,y,z)?0x?x0y?y0z?z0??设旋转曲面的母线方程为?，旋转轴为，求旋转

f(x,y,z)?0XYZ?2曲面方程

方法：在母线上任取一点M1(x1,y1,z1)，所以过M1(x1,y1,z1)的纬圆方程

?X(x?x1)?Y(y?y1)?Z(z?z1)?0 ?222222?(x?x0)?(y?y0)?(z?z0)?(x1?x0)?(y1?y0)?(z1?z0)又因为M1(x1,y1,z1)在母线上，有

?f1(x1,y1,z1)?0 ??f2(x1,y1,z1)?0

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由上述四个方程消去x1,y1,z1的方程F(x,y,z)?0为旋转曲面

xyz?1绕直线l：x?y?z旋转一周所得的旋转曲面的方程。 ??210解：在母线上任取一点M1(x1,y1,z1)，则过M1(x1,y1,z1)的纬圆方程

例4求直线

?(x?x1)?(y?y1)?(z?z1)?0 ?222222?x?y?z?x1?y1?z1又因为M1(x1,y1,z1)在母线上，有

x1y1z1?1 ??2102222由上述方程消去x1,y1,z1的方程得9x?9y?9z?5(x?y?z?1)?9 四、几种特殊的曲面方程 1、母线平行于坐标轴的柱面方程 设柱面的准线是xoy平面上的曲线??f(x,y)?0，则柱面方程为f(x,y)?0

z?0??g(x,z)?0设柱面的准线是xoz平面上的曲线?，则柱面方程为g(x,z)?0

y?0?设柱面的准线是yoz平面上的曲线??h(y,z)?0，则柱面方程为h(y,z)?0

?x?0注意：（1）母线平行于坐标轴的柱面方程中只含两个字母

（2）准线为坐标平面内的椭圆、双曲线、抛物线等柱面称为椭圆柱面、双曲线柱面、

抛物线柱面

例求柱面方程

?y2?2z（1）准线是?，母线平行于x轴

?x?0解：柱面方程为y?2z

2?x2y2?z2?1??（2）准线是?4，母线平行于y轴 9?y?3?解：柱面方程为x?4z

22?x2y2z2??1??（3）准线是?4，母线平行于z轴 99?x?2?解：x?2

2、母线在坐标面上，旋转轴是坐标轴的旋转曲面

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?f(x,y)?0设母线是?，旋转轴是x轴的旋转曲面为f(x,?y2?z2)?0；旋转轴是y轴

z?0?的旋转曲面为f(?x2?z2,y)?0 （同理可写出其它形式的旋转曲面方程）

注意：此类旋转方程中一定含有两个字母的平方和的形式，且它们的系数相等。

y2z2??x?0是什么曲面，它是由xoy面上的什么曲线绕什么轴旋转而成的 例方程22y2?x?0绕x轴旋转而成的 解：xoy面上的23、平行于坐标面的平面和曲面f(x,y,z)?0的交线方程

平行于xoy面的平面z?h和曲面f(x,y,z)?0的交线为??f(x,y,h)?0

z?h??f(x,h,z)?0平行于xoz面的平面y?h和曲面f(x,y,z)?0的交线为?

y?h?平行于yoz面的平面x?h和曲面f(x,y,z)?0的交线为?例求曲面和三个坐标面的交线 （1）x?y?16z?64

222?f(h,y,z)?0

?x?h?x2?y2?64?x2?16z2?64?y2?16z2?64解：?、?、?

?z?0?y?0?x?0（2）x?4y?16z?64 解：注意在yoz面上无交线 （3）x?9y?10z 解：在xoy面上交于一点(0,0)

1、求点在平面上的投影、求点到平面的距离、求关于平面的对称点 方法：（1）过点作直线垂直于平面，该直线的方向向量为平面的法向量

（2）求直线和平面的交点，该交点为点在平面上的投影 例5（1）求点A(3,1,?1)在平面3x?y?z?20?0上的投影

（2）求点A(1,2,?5)到平面x?y?z?10?0的距离，并求该点关于平面的对称点坐标

22222五、求投影

?3x?2y?2?0（1）求过直线?且与点M(1,2,1)的距离为1的平面方程

x?2y?z?6?0?

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