（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习第五章平面向量、复数2第2讲平面向量基本定理及坐标表示高效演练分层

第2讲 平面向量基本定理及坐标表示

[基础题组练]

1．已知a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，则c等于( ) 13

A．－a＋b

2231

C．－a－b

22

13B.a－b 2231D．－a＋b

22

??－1＝λ＋μ，

解析：选B.设c＝λa＋μb，则(－1，2)＝λ(1，1)＋μ(1，－1)，所以?

??2＝λ－μ，

1

λ＝，??213所以?所以c＝a－b.

223

??μ＝－2，

2．设向量a＝(x，1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是( ) A．2 C．±2 解析：选B.因为aB．－2 D．0

??4＝mx，

与b方向相反，所以b＝ma，m<0，则有(4，x)＝m(x，1)，所以?

?x＝m，?

解得m＝±2.又m<0，所以m＝－2，x＝m＝－2.

→→

3．已知A(1，4)，B(－3，2)，向量BC＝(2，4)，D为AC的中点，则BD＝( ) A．(1，3) C．(－3，－3)

B．(3，3) D．(－1，－3)

???x＋3＝2，?x＝－1，→?解析：选B.设C(x，y)，则BC＝(x＋3，y－2)＝(2，4)，所以解得??y－2＝4，?y＝6??

→

即C(－1，6)．由D为AC的中点可得点D的坐标为(0，5)，所以BD＝(0＋3，5－2)＝(3，3)．

4．(2020·温州瑞安七中高考模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若

λc＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝( )

μ 1

A．－8 C．4

B．－4 D．2

解析：选C.设正方形的边长为1，则易知c＝(－1，－3)，

a＝(－1，1)，b＝(6，2)；因为c＝λa＋μb，

所以(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)， 1λ解得λ＝－2，μ＝－，故＝4.

2μ→→→→→→→

5．已知非零不共线向量OA，OB，若2OP＝xOA＋yOB，且PA＝λAB(λ∈R)，则点Q(x，

y)的轨迹方程是( )

A．x＋y－2＝0 C．x＋2y－2＝0

B．2x＋y－1＝0 D．2x＋y－2＝0

→→→→→→→→→→→

解析：选A.由PA＝λAB，得OA－OP＝λ(OB－OA)，即OP＝(1＋λ)OA－λOB.又2OP＝xOA??x＝2＋2λ，＋yOB，所以?消去λ得x＋y－2＝0，故选A.

?y＝－2λ，?

→

6．(2020·金华十校联考)已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0，1)，(2，→→→→

0)，(0，－2)，O为坐标原点，动点P满足|CP|＝1，则|OA＋OB＋OP|的最小值是( )

A.3－1 C.3＋1

B.11－1 D.11＋1

→22

解析：选A.设点P(x，y)，动点P满足|CP|＝1可得x＋(y＋2)＝1. →→→

根据OA＋OB＋OP的坐标为(

2

2

→→→

2＋x，y＋1)，可得|OA＋OB＋OP|＝

（x＋2）＋（y＋1），表示点P(x，y)与点Q(－2，－1)之间的距离．

→→→22

显然点Q在圆C：x＋(y＋2)＝1的外部，求得QC＝3，|OA＋OB＋OP|的最小值为QC－1＝3－1，

故选A.

?1?若a∥b，则锐角θ＝________．

7．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝?，1＋sin θ?，

?2?

112

解析：因为a∥b，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×＝0，得cosθ＝，所以cos

22

2

θ＝±

2π，又因为θ为锐角，所以θ＝. 24

π答案：

4

→→→

8．设向量OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b，0)，其中a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则ab的最大值为________．

→→→→

解析：易知AB＝(a－1，1)，AC＝(－b－1，2)，由A，B，C三点共线知AB∥AC，故2(a－1)－(－b－1)＝0，所以2a＋b＝1.

1

由基本不等式可得1＝2a＋b≥22ab，当且仅当2a＝b时等号成立，所以ab≤，

81

即ab的最大值为.

81答案：

8

9．(2020·台州质检)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，向量a＝(cos C，3b－c)，向量b＝(cos A，a)且a∥b，则tan A＝________．

解析：a∥b?(3b－c)cos A－acos C＝0，即3bcos A＝ccos A＋acos C，再由正弦定理得3sin Bcos A＝sin Ccos A＋cos Csin A?3sin Bcos A＝sin(C＋A)＝sin B，即cos A＝

36sin A，所以sin A＝，tan A＝＝2. 33cos A答案：2

10．如图，两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形，若直角边长为2，→→→

且AD＝λAB＋μAC，则λ＋μ＝________．

解析：因为∠DEB＝∠ABC＝45°， 所以AB∥DE，

过D作AB，AC的垂线DM，DN， 则AN＝DM＝BM＝BD·sin 45°＝2， 所以DN＝AM＝AB＋BM＝2＋2， 2→→→→2＋2→

所以AD＝AM＋AN＝AB＋AC，

22

3

2＋22

所以λ＝，μ＝，

22所以λ＋μ＝1＋2. 答案：1＋2

→→→→→

11．已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，设t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t为何值时，C，D，E三点在一条直线上？

→

解：由题设，知CD＝d－c＝2b－3a， →

CE＝e－c＝(t－3)a＋tb.

C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CE＝kCD，

即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb， 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b. ①若a，b共线，则t可为任意实数；

??t－3＋3k＝0，

②若a，b不共线，则有?

?2k－t＝0，?

→→

6

解之得t＝.

5

综上，可知a，b共线时，t可为任意实数；

a，b不共线时，t＝.

12．(2020·杭州市七校高三联考)在平行四边形ABCD中，M，N分别是线段AB，BC的π

中点，且|DM|＝1，|DN|＝2，∠MDN＝.

3

→→→→

(1)试用向量AB，AD表示向量DM，DN； →→

(2)求|AB|，|AD|；

→→→

(3)设O为△ADM的重心(三角形三条中线的交点)，若AO＝xAD＋yAM，求x，y的值． 解：(1)如图所示， →→

65

DM＝DA＋AM＝AB－AD； DN＝DC＋CN＝AB＋CB＝AB－AD.

→2→4→→4→2→

(2)由(1)知AD＝DN－DM，AB＝DN－DM，

3333→

所以|AD|＝

4→?4?2→DN－DM＝， ?3

3???3

4

→→

1→→

2

1→2

→→→

→1→

2

2