2019-2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程练习含解析新人教A版选修2-1

2.1.2 求曲线的方程

[A 基础达标]

1.若曲线C的方程为y＝x(1≤x≤5),则下列四点中在曲线C上的是( ) A.(0,0) C.(1,5)

?11?B.?，? ?55?

D.(4,4)

?11?解析：选D.显然点(0,0),?，?都不在曲线C上；当x＝1时,y＝1,故点(1,5)也不在曲?55?

线C上.四个选项中只有选项D的点(4,4)在曲线C上.

2.方程x(x＋y－1)＝0和x＋(x＋y－1)＝0所表示的图形是( ) A.前后两者都是一条直线和一个圆 B.前后两者都是两个点

C.前者是一条直线和一个圆,后者是两个点 D.前者是两点,后者是一条直线和一个圆

解析：选C.x(x＋y－1)＝0?x＝0或x＋y＝1,表示直线x＝0和圆x＋y＝1.x＋(x＋

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y2

???x＝0，?x＝0，

?－1)＝0??2?表示点(0,1),(0,－1). 2

?x＋y－1＝0??y＝±1，?

2

3.方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是( )

解析：选B.方程x＋|y－1|＝0可化为|y－1|＝－x≥0,则x≤0,因此选B.

→→→→

4.已知两点M(－2,0)、N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足|MN|·|MP|＋MN·NP＝0,则动点P(x,y)的轨迹方程为( )

A.y＝8x C.y＝4x

22

B.y＝－8x D.y＝－4x

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→→→→

解析：选B.设点P的坐标为(x,y),则MN＝(4,0),MP＝(x＋2,y),NP＝(x－2,y),所以|MN|

→→22→

＝4,|MP|＝（x＋2）＋y,MN·NP＝4(x－2).

根据已知条件得4（x＋2）＋y＝4(2－x),整理得y＝－8x.所以点P的轨迹方程为y＝－8x.

5.已知A(－1,0),B(2,4),△ABC的面积为10,则动点C的轨迹方程是( ) A.4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0 B.4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0 C.4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0 D.4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0

222

2

y－0x＋1

解析：选B.由两点式,得直线AB的方程是＝,即4x－3y＋4＝0,线段AB的长度

4－02＋1

|AB|＝（2＋1）＋4＝5.

设C的坐标为(x,y), 1|4x－3y＋4|则×5×＝10, 25

即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.

6.若方程x－2y－2k＝0与2x－y－k＝0所表示的两条直线的交点在方程x＋y＝9表示的曲线上,则k＝________.

??x－2y－2k＝0，??x＝0，22

?解析：由得?代入x＋y＝9得k＝±3. ?2x－y－k＝0?y＝－k，??

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答案：±3

→→

7.在平面直角坐标系xOy中,若定点A(－1,2)与动点P(x,y)满足OP·OA＝3,则点P的轨迹方程为________________.

→→→→→→

解析：由题意OP＝(x,y),OA＝(－1,2),则OP·OA＝－x＋2y.由OP·OA＝3,得－x＋2y＝3,即x－2y＋3＝0.

答案：x－2y＋3＝0

8.若等腰三角形底边的两个顶点是B(2,1),C(0,－3),则另一顶点A的轨迹方程是________.

解析：由题意,知另一顶点A在边BC的垂直平分线上.

1－（－3）

又BC的中点为(1,－1),边BC所在直线的斜率kBC＝＝2,所以边BC的垂直平分

2－011

线的斜率为－,垂直平分线的方程为y＋1＝－(x－1),即x＋2y＋1＝0.

22

又顶点A不在边BC上,所以x≠1.

故另一顶点A的轨迹方程是x＋2y＋1＝0(x≠1).

答案：x＋2y＋1＝0(x≠1)

9.在平面直角坐标系中,已知动点P(x,y),PM⊥y轴,垂足为M,点N与点P关于x轴对称,→→

且OP·MN＝4,求动点P的轨迹方程.

→→→22

解：由已知得M(0,y),N(x,－y),则MN＝(x,－2y),故OP·MN＝(x,y)·(x,－2y)＝x－2y,依题意知,x－2y＝4,因此动点P的轨迹方程为x－2y＝4.

10.已知圆C的方程为x＋y＝4,过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m,设m与y轴→→→

的交点为N,若向量OQ＝OM＋ON,求动点Q的轨迹方程.

→

解：设点Q的坐标为(x,y),点M的坐标为(x0,y0)(y0≠0),则点N的坐标为(0,y0),因为OQ＝

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y→→

OM＋ON,即(x,y)＝(x0,y0)＋(0,y0)＝(x0,2y0),则x0＝x,y0＝. 2

又点M在圆C上,所以x＋y＝4,即x＋＝4(y≠0),所以动点Q的轨迹方程是＋＝44161(y≠0).

[B 能力提升]

11.a,b为任意实数,若点(a,b)在曲线f(x,y)＝0上,则点(b,a)也在曲线f(x,y)＝0上,那么曲线f(x,y)＝0的几何特征是( )

A.关于x轴对称 C.关于原点对称

B.关于y轴对称 D.关于直线y＝x对称

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0

20

2

y2x2y2

解析：选D.由于点(a,b)和(b,a)关于直线y＝x对称, 所以f(x,y)＝0表示的曲线关于直线y＝x对称,故选D.

→→→→

12.在平面直角坐标系中,O为原点,点A(1,0),B(2,2).若点C满足OC＝OA＋t(OB－OA),其中t∈R,则点C的轨迹方程为________.

?x＝t＋1，?→→→→

解析：设点C(x,y),则OC＝(x,y),OA＋t(OB－OA)＝(1＋t,2t),所以?消去参数

??y＝2t.

t,得点C的轨迹方程为y＝2x－2.

答案：y＝2x－2

13.已知△ABC中,AB＝2,AC＝2BC. (1)求点C的轨迹；

(2)求△ABC的面积的最大值.

解：(1)以AB为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则A(－1,0),B(1,0), 设C(x,y),由AC＝2BC,得(x＋1)＋y＝2[(x－1)＋y],即(x－3)＋y＝8, 又点C不在x轴上,

所以点C的轨迹方程为(x－3)＋y＝8(y≠0),

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22

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所以点C的轨迹是以(3,0)为圆心,半径为22的圆去掉点(3＋22,0)和(3－22,0)剩余的部分.

(2)由于AB＝2,

1

所以S△ABC＝×2×|y|＝|y|,

2因为(x－3)＋y＝8,

所以|y|≤22,所以S△ABC≤22, 即△ABC的面积的最大值为22.

14.(选做题)如图所示,圆O1和圆O2的半径都等于1,|O1O2|＝4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM,PN(M,N为切点),使得|PM|＝2|PN|.试建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.

解：以O1O2的中点O为原点,O1O2所在直线为x轴,O1O2的垂直平分线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,则O1(－2,0),O2(2,0).

由已知|PM|＝2|PN|, 所以|PM|＝2|PN|. 又因为两圆的半径均为1, 所以|PO1|－1＝2(|PO2|－1).

设P(x,y),则(x＋2)＋y－1＝2[(x－2)＋y－1], 即(x－6)＋y＝33.

所以所求动点P的轨迹方程为(x－6)＋y＝33.

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