初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第9章三角形试题(无答案)新人教版

C2G231A221DE(b)B22

9．3．22★★★已知?AFB??BFC??CFA?120?，P为异于F的任一点，求证： PA?PB?PC?FA?FB?FC．

解析如图，在△ABC外作正三角形ABD，由于?ABC，?BAC?120?，故四边形DBCA的内角均小于180?，是凸四边形．

DP'AF'FPBC

对于△ABC中任一异于F的点P，将△ABP、△ABF均以点A为中心顺时针旋转60?，至△ADP? 和△ADF?，则△AFF与△APP?均为正三角形．

由全等知AP?BP?CP?PP??DP??CP?CD?DF??F?F?FC?AF?BF?CF，这是因为DP?PC是一条折线，而?DF?A??AFC?120?，?AFF???AF?F?60?，D、F?、F、C四点共线且仅对于F满足四点共线．

评注当△ABC内角均小于120?时，满足条件的点F称为△ABC的费马点（当△ABC有内角比如

． ?A≥120?时，到A、B、C距离之和最小的点正是点A）

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