初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第9章三角形试题(无答案)新人教版

AFDBEC

解析如图，不妨设BE?CE?1，则AE?2，AB?5．作?ABD的平分线BF，由于

?BDE?3?BAE??ABD??BAE，故?ABF??DBF??BAE．因此AF?BF，△ABD∽△BFD， ABADBDDB?AD，从而BD2?DF?DA，DF?，所以DA2?BD??BD?AB?． ??BFBDDFAB?DB设DE?x，则BD2?x2?1，DA?2?x，因此?2?x??x2?1?5?x2?1?，?3?4x??5x2?5，

22220AD（x?2舍）．于是AD?，?10． 1111DE9．2．10★★正三角形ABC内有一点P，P关于AB、AC的对称点分别为Q、R，作平行四边形QPRS，11x2?24x?4?0，x?求证：AS∥BC．

AMQPBSRC

解析如图，设QS与AB交于M，连结MP，则?Q?60?，AB垂直平分PQ，QM?PM，△MPQ 为正三角形，MP?PQ?SR，于是四边形MPRS为等腰梯形，PR的中垂线即MS的中垂线． 于是?SAC??MAC?60??C，AS∥BC．

9．2．11★★AB与eO相切于点B，AC与eO相交于C、D，若?C?45?，?BDA?60?，CD=6，求AB．

BTCDKA

解析如图，由题意可得?ABD?45?，作BK?AC于K，则BK?CK，又CK?CD?DK?6?BK3，

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故BK?32?6?2，BD?32?6．

x3?再作AT?BD于T，设BT?AT?x，则DT?于是AB?2x?6．

，x?x3?32?6，x?32．

9．2．12★已知大小相等的等边△ABC与等边△PQR有三组边分别平行，一个指向上方，一个指向 下方，相交部分是一个六边形，则这个六边形的主对角线共点．

ADEKHFPGCRQB

解析如图，设两个三角形的边的交点依次为D、E、F、G、H、K．设△ABC、△PQR的高为h，则正△ADK的高?h（RQ与BC的距离）?正△FPG的高，于是DK∥FG，DG、KF互相平分，同理DG、EH互相平分，于是DG、EH、KF的中点为同一点，结论成立．

9．2．13★★★★求证：过正三角形ABC的中心O任作一条直线l，则A、B、C三点至l的距离平方和为常数．

AlB'A'OC'BQCP

解析如图，不妨设l与AB、AC相交，且与BC延长线交于P(平行容易计算)．由中位线及重心性质，知BB??CC??AA?．故B?B2?C?C2?A?A2?2(B?B2?C?C2?B?B?C?C)． 连结OB、OC，作OQ?BC，易知△B?BP∽△QOP∽△C?CP，故

C?CCPB?BBP，． ??OQOPOQOP对于等腰三角形OBC，有OP2?OC2?CP?BP．因此

OQ2OQ2222222B?B?C?C?B?B?C?C?CP?BP?CP?BP??BC2?3CP?BP?? 2?2?OPOPOQ2BC2?3OP2?3OC2??3OQ2(定值)，这里用到了BC?3OC． 2?OP1于是A、B、C三点至l的距离平方和为6OQ2?BC2，结论得证．

2§9．3三角形中的巧合点

9．3．1★已知：H是△ABC内一点，AH、BH、CH延长后分别交对边于D、E、F，若

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AH?HD?BH?HE?CH?HF，则H是△ABC的垂心，

解析如图，由条件知△AHE∽△BHD，故?AEH??BDH，同理，?AFH??CDH，故?AFH??AEH?180?．

AFEHBDC

又△FBH∽△ECH，故?BFH??CEH，这样可得?AFH??AEH?90?，故H为△ABC之垂 心．

9．3．2★★求证：到三角形三顶点的距离平方和最小的点是三角形的重心．

解析设△ABC中，AD、BE、CF是中线，G是重心，M是任一点．由斯图沃特定理，并考虑到 结论成立． DG∶GA∶AD?1∶∶23，

122得MG2?AM2?DM2?AD2

33912?AM2?DM2?2GD2．① 33又由中线长公式，有 MD2?GD2?11BM2?CM2??BC2， ?2411BG2?CG2??BC2． ?24代入式①，得

3MG2??MA2?MB2?MC2???GA2?GB2?GC2?≥0．

结论成立．

9．3．3★★★已知，H是锐角△ABC的垂心，D是BC中点，过H作DH的垂线，交AB、AC于M、N，求证：H是MN中点．

AQMHNBDPC

解析设△ABC两条高为AP、CQ．又不妨设D在BP上．由于?HAM??DCH，

?AHM?90???DHP??HDC，故△AMH∽△CHD，于是

又CD?BD，故MH?NH．

MHAHNHAH，同理， ??HDCDHDBD 15

9．3．4★★★△ABC的边BC、CA、AB上分别有点D、E、F，且的重心与△DEF的重心是同一点．

BDCEAF，求证：△ABC??DCEAFBMDBDCE，所以MD?CE，四边形MDCE为平行四??ACBCAC边形，设MC与DE交于N，又设BC的中点为，P连结PN、AP、FN，AP与FN交于G，于是由 解析在AB上取一点M，使MD∥AC，则

BMBDCEAF11PGGNPN1，得RM?AF，于是PN∥BM∥AF，于是??????，所以G为

ABBCACAB22GAFGAF2△ABC与△DEF之重心．

AFGNBDPCME

9．3．5★★★已知△ABC，?A?60?，G是△ABC重心，?BGC?120?，求证：△ABC是正三角形． 解析设△ABC三条中线分别为AD、BE、CF．连EF为中位线．于是由条件知A、F、G、E共圆，311代入，得AD? BC．BC，GD?AD，

223在△ABC外作等腰△BCP，使BP?CP，?BPC?120?，连结DP，DP?BC．由圆心角与圆周角的

BC211关系，GP?BP??AD?AD?AD?GD?PD，故G、D、P三点共线，故AD?BC，于是

3333故?GBD??FEG??BAD，于是BD2?GD?DA．由于BD?AB?AC，又?RAC?60?，故△ABC为正三角形．

AFGBDPEC

9．3．6★★★已知D是BC上一点，△ABD、△ECD、△BCF都是正三角形，A、E在BC同侧，F

在另一侧，求证：以这三个正三角形的中心为顶点的三角形是正三角形，且它的中心在BC上．又问此题如何推广？

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