2019-2020学年高中数学人教A版选修2-2练习：第一章 导数及其应用 Word版含解析

章末综合检测(一)

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若函数f(x)＝1

3x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为( )

A．0 B．2 C．1

D．－1

解析：选D.f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，则f′(1)＝12－2f′(1)·1－1，解得f′(1)＝0. 2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1

D．a＝－1，b＝－1

解析：选A.y′＝2x＋a，所以y′|x＝0＝a＝1.将点(0，b)代入切线方程，得b＝1. 3．函数y＝xcos x－sin x在下面哪个区间内单调递增( ) A.?π，3π?22?? B．(π，2π) C.?3π5π?2，2??

D．(2π，3π)

解析：选B.y′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x，当x∈(π，2π)时，－xsin x>0.

4．设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则常数a－b的值为( A．21 B．－21 C．27

D．－27

解析：选A.因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b， ?－2＋4＝－2a

所以?3，??

a＝－3，

?

－2×4＝b??3

?

?b＝－24.所以a－b＝－3＋24＝21.故选A.

5．函数f(x)＝x2－ln 2x的单调递减区间是( ) A.?02?

，

2?? B.?

2?2，＋∞??

C.?2?

－∞，－2??，??0，22?? D.?－

2?

2，0??，?2?

0，

2?? 解析：选A.因为f′(x)＝2x－12x2

－1

x＝x

，

) ??x＞0，

所以f′(x)≤0??

2??2x－1≤0.

解得0＜x≤

2. 2

2

6．曲线y＝sin x与直线y＝x所围成的平面图形的面积为( )

π4＋πA.

24－πC.

2

4－πB.

42－πD.

2

2

解析：选C.在同一坐标系中作出曲线y＝sin x和直线y＝x的图象，如图所示，阴影部

π4－π2x

sin x－x?dx＝2?－cos x－??2＝分的面积可表示为2?2?. π?π??0?2???0

π

2π

7．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当ag(x) B．f(x)

C．f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a) D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)

解析：选C.因为f′(x)－g′(x)>0，所以[f(x)－g(x)]′>0，所以f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数，所以当af(x)－g(x)>f(a)－g(a)，所以f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)，f(x)＋g(b)

8．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( ) A．0 C．2

解析：选D.令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－

B．1 D．3 .

x＋11

由导数的几何意义可得在点(0，0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2，所以a＝3.

2

9．设函数f(x)＝＋ln x，则( )

x1

A．x＝为f(x)的极大值点

21

B．x＝为f(x)的极小值点

2C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点 2

解析：选D.因为f(x)＝＋ln x，

x21

所以f′(x)＝－2＋，令f′(x)＝0，

xx21x－2

即－2＋＝2＝0，解得x＝2.

xxx当x＜2时，f′(x)＜0；

当x＞2时，f′(x)＞0，所以x＝2为f(x)的极小值点．

10．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1，0)，则f(x)的极值为( ) 4

A．极大值为，极小值为0

274

B．极大值为0，极小值为－

275

C．极小值为－，极大值为0

275

D．极小值为0，极大值为

27

???f′（1）＝0，?p＝2，

解析：选A.f′(x)＝3x－2px－q，由题意可得?解得?故f(x)＝x3－

???f（1）＝0，?q＝－1，

2

11

2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1.令f′(x)>0，解得x<或x>1；令f′(x)<0，解得

33

1?4

f(x)极大值＝f??3?＝27，f(x)极小值＝f(1)＝0. x

11．函数y＝－2sin x的图象大致是( )

2

11

解析：选C.y′＝－2cos x，令y′＝0，解得cos x＝，根据三角函数的知识知这个方程有

24xx

无穷多解，即函数y＝－2sin x有无穷多个极值点，又函数y＝－2sin x是奇函数，图象关

22于坐标原点对称，故只有选项C中的图象符合题意．

12．若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，0) C．(0，＋∞)

B．(－∞，4] D．[4，＋∞)

3

解析：选B.2xln x≥－x2＋ax－3(x>0)恒成立，即a≤2ln x＋x＋(x>0)恒成立，设h(x)＝

xx2＋2x－33

2ln x＋x＋(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0，1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，

xx2＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范围是(－∞，4]．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分．

13．三次函数f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则实数m的取值范围是________． 解析：依题意可得f′(x)＝3mx2－1≤0，且m≠0，从而m<0. 答案：(－∞，0)

??lg x，x>0，

14．设f(x)＝?x＋a3t2dt，x≤0，若f(f(1))＝1，则a＝________．

????0

解析：显然f(1)＝lg 1＝0， f(0)＝0＋?a3t2dt＝t3|a0＝1，得a＝1.

?0

答案：1

15．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个交点，则实数c＝________． 解析：因为y′＝3x2－3，所以当y′＝0时，x＝±1.则当x变化时，y′，y的变化情况如下表：