人教版高中数学【必修四】[知识点整理及重点题型梳理]_任意角和弧度制_基础

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类型四：弧度制与角度制的互化

例4．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示（不包括边界）。

【思路点拨】这类题只要找到两射线对应的角，然后写成??2k??x???2k?(k?z)即可，注意

???。

【答案】（1）??|2k?????6???2k??5?3?3????,k?Z?（2）??|2k?????2k??,k?Z? 1244???【解析】（1）如下图①，以OB为终边的角为330°，可看成是－30°，化为弧度，即?而75??75??， 6?180??5?5???,k?Z?。 rad，∴所求集合为??|2k?????2k??61212??3?， 4（2）如上图②，以OB为终边的角225°，可看成是－135°，化成弧度，即?而135??135??180?3?3?3??????2k??,k?Z?。 rad，∴所求集合为??|2k??444??【总结升华】在表示角的集合时，一定要使用统一的单位，只能用角度制或弧度制中的一种，不能混

用。

例5．（1）（2015春 浦东新区月考）弧度=________度；75°=________弧度；1弧度=________度（精确到小数点后一位）

（2）已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是________．

【答案】（1）60；

?35?1?1?；57.3（2）?，? 1223602360【解析】（1）∵π=180°，

?弧度=60°， 35?180)?=57.3°75°=弧度，1弧度=(

12?∴

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故答案为：60；

5?；57.3． 12（2）设两个角的弧度数分别为x，y，因为1???180rad，

1??x???x?y?1???2360所以有?． ?，解得?1?x?y??y???180??2360?即所求两角的弧度数分别为

1?1?，?． ?23602360【总结升华 】（1）进行角度与弧度换算时，要抓住关系：πrad=180°； （2）度数×

??180?=弧度数，弧度数×???=度数。

?180??举一反三：

【变式1】下列转化结果错误的是（ ）

3?10? B．?化成度是―600° 837??C．―150°化成弧度是? D．化成度是15°

612A．67°30′化成弧度是【答案】C

【变式2】分别使用角度制与弧度制表示下列角的集合：

(1) 与?终边相同的角

(2) 终边在y轴正半轴上的角的集合 (3) 终边在y轴负半轴上的角的集合 (4) 终边在y轴上的角的集合 【答案】

（1）S|S?k?360??,k?z，?S|S?2k???,k?z? （2）S|S?k?360?90,k?z，?S|S?2k?????????????,k?z? 2? （3）S|S?k?360?90,k?z，?S|S?2k?????,k?z? 2? （4）S|S?k?180?90,k?z，?S|S?k????????,k?z? 2?类型五：扇形的弧长、面积与圆心角问题

【：任意角和弧度制 385946例6】

例6．已知弧长50cm的弧所对圆心角为200度，求这条弧所在的圆的半径（精确到1cm）。

【思路点拨】用弧长公式l?|?|r(?是圆心角的弧度数)去求解。 【答案】15

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【解析】 ?50?200?200??180?10? 910??R， 945?R??15（cm）

?【总结升华】弧度制下扇形的弧长公式、面积公式均得到简化，解决这类问题通常采用弧度制。 举一反三：

【变式1】（2014春 福建武夷山市期末）已知扇形OAB的周长为12． （1）若扇形AOB的面积为8，求圆心角?的大小；

（2）当扇形AOB的面积取到最大值时，求圆心角?的大小．

?l?2R?12?【思路点拨】（1）设扇形的AOB的弧长为l，半径为R，依题意有?1，解不等式组代入角

lR?8??2的弧度数的定义可得；（2）由12=1+2R结合基本不等式可得1R≤18，可得S?时，取等号，可得此时圆心角?．

【答案】（1）1或4；（2）2

【解析】（1）设扇形AOB的弧长为l，半径为R，

1lR?9，当且仅当l=2R=62?l?2R?12?l?4?l?8?依题意有?1，解得?或?，

lR?8?R?4?R?2??2∴??l?1或4 R（2）∵12?1?2R?22lR，∴2lR?6，即lR≤18， 当且仅当l=2R=6时，取等号，

1lR?9，当且仅当l=2R=6时，取等号， 2l此时圆心角???2

R∴S?

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