北师大版五年级数学下册概念重新整理（详细讲解分数应用题解法）

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北师大版五年级数学下册概念与公式整理版

一、分数乘法、分数除法

1. 分数乘法的意义：求几个相同分数的和的简便运算

2. 分数除法的意义：已知两个乘数的积和其中一个乘数，求另一个乘数的运算。 如：25÷5=? 已知两个乘数（因数）的积是25，其中的一个因数是5，求另一因数是多少？ 3. 分数乘法的运算法则：

1）分数与整数相乘：分子和整数相乘，分母不变；

2）分数与分数相乘：分子与分子相乘，分母与分母相乘，能约分的可以先约分。 4. 分数除法的运算法则：

1）一个数除以一个整数（0除外）等于这个数乘以这个整数的倒数； 2）一个数除以一个分数等于这个数乘以这个分数的倒数； 3）除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数； 4）当除数<1时，商大于被除数；（商就是得数） 5）当除数=1时，商等于被除数； 6）当除数>1时，商小于被除数。

5. 分数除法的意义：如果两个数的乘积是1，那么这两个数叫做互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数。

6. 注意：1的倒数是1，而0没有倒数。

7. 分数乘整数的意义：与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。

111如：×5表示求5个的和是多少，或者表示的5倍是多少。

2228. 一个数乘分数的意义：就是求这个数的几分之几是多少。

1111如：4×表示求4的是多少。 3×表示3的是多少。

33339. 分数乘、除法的实际问题

1）求一个数的几分之几是多少，用乘法。

2）已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法，也可以用解方程。 10. 原价×折扣=现价；现价÷原价=折扣；现价÷折扣=原价。 11. 找单位“1”的方法： ①总数量是单位“1”；

1例如：小红看完整本书的，那么单位“1”是整本书的页码。

2②原价就是单位“1”；

1例如：笔记本电脑原价是3000元，现在降价了，那么单位“1”是原价3000元。

2③分数比率之前的“的”字前面的量是单位“1”；

1例如：全校男生的人数是女生人数的，那么单位“1”是女生人数。

2④一个东西比另一个东西多几分之几中“比”后面的东西是单位“1”。

1例如：商店卖的苹果比橘子多，那么单位“1”是橘子数量。

2总结：单位“1”在总数、原价、的前面、比后面。

以上内容请同学们务必多理解、多运用！！ 第1页

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12. 分数应用题的解题方法：（分率就是几分之几） ? 题型1：商店卖出的苹果6千克，卖出的苹果比橘子多

1，求卖出橘子多少千克？ 2【解题思路】

第一步：找单位“1”

该题中：单位“1”是“比”字后面的东西——橘子数量。

第二步：判断单位“1”已知还是未知？已知用乘，未知用除。

如果单位“1”已知，就用乘法解，用单位“1”的量乘以谁的分率就算谁的具体量。

如果单位“1”未知，说明题目是求单位“1”的量。要用除法或者列X方程计算单位“1”的量，用已知量除以它对应的分率。

该题中：单位“1”橘子数量未知，是题目要求出的数量，用除法，把已知量苹果作为被除数。

第三步：某物比单位“1”多几分之几就写：（1＋分数），；

某物比单位“1”少几分之几就写：（1－分数），或说减少了几分之几。

11该题中：苹果比橘子多，也就是苹果是橘子的(1?)，根据前一步所得的被除

221数是苹果数量6千克，因此最后列式为：6?(1?)?4 。

2?1?苹果比橘子增加了2??1?1?注意：苹果比橘子多等同于?苹果是橘子的?1+?

22?????1?苹果增加到橘子的??1+??2??同学们可以用具体数字带进去理解，例如：苹果为3千克，橘子为2千克。

? 题型2：商店卖出苹果6千克，卖出橘子4千克，问卖出的苹果是橘子的几分之几？

【解题思路】

第一步：求分率的应用题，我们同样要找单位“1”。

该题问卖出的苹果是橘子的几分之几？单位“1”是橘子。

第二步：单位“1”的量做除数，求谁的分率就用谁的具体量除以单位“1”的量。

该题单位“1”是橘子，因此橘子做除数，苹果做被除数来除以单位“1”，因此

3最终得出：6?4?。

2? 题型3：求平均数的应用题，求谁的量就把谁做除数。

例：一堆煤，5天烧了10吨，求平均每天烧多少吨？

求每天，天就作为除数，把5天做除数，即10÷5=2（吨）； 例：一堆煤，5天烧了10吨，求平均每吨烧多少天？

求每吨，吨就做除数，即5÷10=0.5（天）。 注意：得数的单位应该与被除数的单位一致。 13. 分数应用题如何列式：

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用乘法的情况如下 知道单位“1”时 知道总数求部分的公式： 总数 × 对应的分数 = 部分 题目形式 用除法的情况如下 不知道单位“1”时 知道部分求总数的公式： 知道的部分 ÷ 对应的分数 = 总数 题目形式 已知一个数，求这个数的几分之几是多少。 已知一个数的几分之几数多少，求这个数 已知一个数，求这个数的百分之几数多少。 已知一个数的百分之几数多少，求这个数 注意：以上11、12、13项请结合题目理解！！！

二、分数的混合运算

1. 分数混合运算的顺序和整数混合运算的顺序相同，都是先算乘除法，再算加减法，有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。【整数的运算律在分数运算中同样适用】 2. 运算定律：

1）乘法分配律：a?(b?c)?a?b?a?c←（请特别注意这个公式！） 2）乘法结合律：a?b?c?a?(b?c) 3）乘法交换律：a?b?b?a

运用运算定律可对分数的混合运算进行简便运算。

3. 分数与整数相乘，分母不变，分子和整数相乘的积作分子。

分数与分数相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘，能约分的先约分。 4. 一个数乘一个真分数，所得的积一定小于原来的数； 一个数乘一个等于1的数，所得的积等于原来的数；

一个数乘一个大于1的假分数，所得积一定大于原来的数。

三、长方体的认识、表面积、体积和容积

1. 两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高

2. 长方体有6个面，每个面一般都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等。有12条棱，12条棱可以分为三组：4条长，4条宽，4条高，长、宽、高分别相等。有8个顶点，每个顶点处由3条棱组成，长、宽、高各一条。

3. 正方体有6个面，每个面都相等，都是正方形。有12条棱，12条棱长度相等，叫做正方体的棱长。有8个顶点。正方体是特殊的长方体。 3. a3读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a×a×a） 4. 长方体的棱长和 =（长+宽+高）×4；正方体的棱长和 ＝棱长×12 5. 长方体6个面的面积之和叫做长方体的表面积。 长方体上表面或下表面的面积＝长×宽，用字母表示为：

底面积S = a×b

长方体的表面积＝长×宽×2＋长×高×2 +宽×高×2，用字母表示为：

表面积S = a×b×2+ a×h×2 +b×h×2

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5. 正方体的6个面的面积之和叫做正方体的表面积。 正方体每个面的面积＝棱长×棱长。表面积等于所有面的总和，有 6个相同的面，所以正方体的表面积＝6×每个面的面积=6×棱长×棱长，用字母表示为：

S = 6×a2 6. 正方体露在外面的面积＝一个面的面积×露在外面的面的个数。把正方体放在桌面上，最

多可以看见三个面。

7. 物体所占空间的大小，称物体的体积。常用的体积单位有立方米，立方分米，立方厘米。 8. 容器所能容纳物体的体积，叫做容器的容积。常用的容积单位有升和毫升。 9. 计算物体的体积用体积单位，计算液体、气体的体积一般用容积单位。 10.单位换算：

1立方米＝1000立方分米 1立方分米＝1升 1立方米=1000000立方厘米 1升＝1000毫升 1立方分米＝1000立方厘米 1立方厘米＝1毫升

11. 相邻的的体积单位之间的互化。进率表示单位之间差10的多少倍。 ÷进率

低级单位 高级单位

×进率

12. 测量不规则形状的物体的体积时，可以将不规则物体放入盛有水的容器中，上升的水的体积或者溢出的水的体积就是这个物体的体积。

13. 一般来说，一个物体的体积比它的容积大（想想为什么？）。 四、百分数

22写作22％，读作：百分之二十二。 1002. 求一个数的几分之几（或百分之几）是多少，用乘法计算；

1. 百分数表示一个数是另一个数的百分之几。

已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。 3. 百分数也叫百分比、百分率。 4. 生活中的“率”：

及格率＝及格的人数÷总人数 出勤率＝出勤人数÷总人数 成活率＝成活的棵数÷种植的总棵数 命中率＝命中次数÷总次数 出粉率＝面粉的重量÷小麦的重量 优秀率＝优秀人数÷总人数 合格率＝合格的产品数÷产品总数 发芽率＝发芽的种子数÷种子总数 5. 小数化成百分数：先把小数点向右(→)移动两位，再在后面添上％（0.20→20→20%）。 6. 分数化成百分数：先把分数化成小数（除不尽时保留三位小数），再把小数化成百分数。 7. 百分数化成小数：先去掉％，再把小数点向左(←)移动两位（20%→20→0.20→0.2）。 8. 百分数化成分数：先把百分数化成分母是100的分数，然后约分、化简；或者先把百分数化成小数，再化成分数。

五、统计

1. 条形统计图能清楚地看出每个项目的数量，并且方便进行比较。 2. 扇形统计图能清楚地看出各部分分别占总量的百分之几。 3. 折线统计图能清楚地看出数量的变化情况。

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4. 一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数。

5. 把一组数据从小到大（或从大到小）排列，中间的数叫这组数据的中位数。当一组数据的个数是偶数时，中位数取中间两个数的平均数。 6. 平均数＝总数量÷总份数

长方体和正方体公式大总结

（1）长方体公式：

? 长方体棱长之和 ＝（长＋宽＋高）×4

逆运用：长 = 长方体棱长之和÷4－宽－高

长方体的高 = 长方体棱长之和÷4－长－宽

? 相交于一个顶点的三条棱的和 = 长＋宽＋高÷4 = 长方体棱长之和÷4

? 底面积（占地面积、上面积）＝ 长×宽

? 左（右）面积 ＝ 宽×高；前（后）面积 ＝ 长×高 ? 表面积 ＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2

? 没盖长方体的表面积 ＝ 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2

或＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2－长×宽

? 长方体或正方体侧面面积（就是周围四个面的面积）= 底面周长×高

或 =（长×高＋宽×高）×2

? 求通气管、烟囱或粉刷柱子是计算四个面的面积

? 体积（容积）＝长×宽×高，用公式表示是：V=a×b×h

逆运用：高＝长方体体积（容积）÷长÷宽 = 长方体体积（容积）÷（长×宽） 或高＝长方体体积（容积）÷底面积

? 长方体的体积 = 一个侧面积×长 = 一个横截面面积×高（请画图理解！）

（2）正方体公式：正方体是特殊的长方体，其各个边长相等，统称棱长。 ? 正方体的棱长和 ＝ 棱长×12

逆运用：棱长 ＝ 棱长和÷12

? 表面积＝棱长×棱长×6 = 任意一个面积×6，用公式表示S＝6a2

逆运用：正方体一个面的面积＝棱长×棱长＝正方体表面积÷6 ? 无盖的正方体的表面积＝棱长×棱长×5

体积（容积）＝棱长×棱长×棱长，用公式表示：V= a ×a× a = a3 ? 求小正方体的数量 = 每排的个数×排数×层数

? 至少要8块棱长为1厘米的小长方体拼成一个大正方体。

? 一个正方体棱长扩大ａ倍，棱长之和扩大ａ×ａ倍，表面积扩大ａ×ａ倍，体积扩大ａ×ａ×ａ倍。

（3）长方体和正方体都可以用公式（底面积×高）来计算。用公式表示：V=S×h （4）不规则物体的体积 = 容器底面长×容器底面宽×上升的水的高度

= 容器底面积×上升的水的高度

逆运用：上升的水的高度 = 不规则物体的体积÷容器底面长÷容器底面宽

= 不规则物体的体积÷容器底面积

所有公式请各位同学务必要：画图理解→背诵→熟练运用！！！

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