圆与圆的位置关系（2015新湘教版中考复习）

圆与圆的位置关系（2015新湘教版中考复习）

一、复习目标

1、了解两个圆相离（外离、内含），两个圆相切（外切、内切），两个圆相交、圆心距等概念。

2、理解两个圆的相互关系与d、 r1 、 r2 等量关系的等价条件并灵活运用它们解题。

3、理解“相切两圆的连心线必过切点”；“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”这两条性质。 二、复习重点和难点： 复习重点：

根据圆心距d和两圆的半径 r1 、 r2 之间的数量关系来确定两圆的位置关系。 复习难点：

1、有的问题需要分情况讨论，如两圆相切要注意分两圆外切和内切这两种情形；

2、根据圆的对称性得出“相切两圆，连心线必过切点”；“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”这两条性质。 三、复习过程： （1）知识梳理： 1、圆与圆的位置关系

(1)圆心距：两圆圆心的距离叫圆心距．

(2)设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r （R>r），则

①两圆外离?d＞R+r； ②两圆外切?d=R＋r；

③两圆相交?R－r＜d＜R+r（R＞r） ④两圆内切?d=R－r（R＞r）； ⑤两圆内含?d＜R—r（R＞r）．

（注意：两圆内含时，如果d为0，则两圆为同心圆）

2、两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴。

3、由对称性可知：相切两圆，连心线必过切点；相交两圆的连心线垂直平分公共弦。 （二）典例精析：

例1、（2012江苏盐城，17，3分）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t= . 【分析】本题考查了一元二次方程与两圆相切的性质.掌握两圆相切的性质是关键.先解一元二次方程确定两圆半径，再利用两圆相切的性质解题.解x2-4x+3=0的两根为x1=1，x2=3，当两圆内切时，t+2=3-1，t =0；当两圆外切时，t+2=1+3，t=2

【点评】本题将一元二次方程和圆和圆的位置关系结合考察是一道较好的题目，要注意两圆相切分内切和外切两种情况．

例2（1）已知半径为3 cm，4cm的两圆外切，那么半径为6 cm且与这两圆都外切的圆共有___个．

（2）已知⊙O1和⊙O2相外切，且圆心距为10cm，若⊙O1的半径为3cm，则⊙O2的半径 cm （注意要分情况讨论）

例3、⊙O1的半径是2cm，⊙2的半径是5cm，圆心距是4cm，则两圆的位置关系为

A. 相交 B. 外切 C.外离 D. 内切

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。由于5－2＜4＜5＋2，所以两圆相交。故选A。

例4．(2010年山东聊城)如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的心坐标为（a，0）半径为5．如果两圆内含，那么a的取值范围是__-2

分析：在数轴上数形结合的分析即可，注意原点左、右侧. 例5、（2012广西桂林10分）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两

点，⊙O1经过⊙O2的圆心，顺次连接A、O1、B、O2． (1)求证：四边形AO1BO2是菱形；

(2)过直径AC的端点C作⊙O1的切线CE交AB的延长线于E，连接CO2交AE于D，求证：CE＝2O2D；

(3)在(2)的条件下，若△AO2D的面积为1，求△BO2D的面积． 【分析】（1）根据⊙O1与⊙O2是等圆，可得AO1=O1B=BO2=O2A，利用四

条边都相等的四边形是菱形可判定出结论。 （2）根据已知得出△ACE∽△AO2D，从而得出DO2EC?AO21?，即可得AC2出结论。

（3）首先证明△ACD∽△BO2D，得出DB?BO2?1 ，AD=2BD，再利用

ADAC2等高不等底的三角形面积关系得出答案即可。

解：（1）证明：∵⊙O1与⊙O2是等圆，∴AO1=O1B=BO2=O2A。

∴四边形AO1BO2是菱形。

（2）证明：∵四边形AO1BO2是菱形，∴∠O1AB=∠O2AB。 ∵CE是⊙O1的切线，AC是⊙O1的直径，∴∠ACE=∠AO2C=90°。 ∴△ACE∽△AO2D。∴DO2EC?AO21?，即AC2CE=2DO2。

（3）∵四边形AO1BO2是菱形，∴AC∥BO2。∴△ACD∽△BO2D。

∴DB?BO2?1。∴AD=2BD。

ADAC2∵S?AOD?1S，∴S?ODB?1。

222例6（2009年四川凉山州）如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标

0)，以点O1为圆心，8为半径的圆与x轴交于A，B两点，过A作为(?4，直线l与x轴负方向相交成60°的角，且交y轴于C点，以点O2(13，5)为圆心的圆与x轴相切于点D． （1）求直线l的解析式；

（2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，当⊙O2第一次与⊙O1外切时，求⊙O2平移的时间． 【答案】（1）解：由题意得OA?|?4|?|8|?12，

?A点坐标为(?12，0)．

在Rt△AOC中，?OAC?60°，

OC?OAtan?OAC?12?tan60°?123 ?C点的坐标为(0，?123)．

设直线l的解析式为y?kx?b， 由l过A、C两点，

??123?b得? ???0??12k?b解得???b??123??k??3，?直线l的解析式为：y??3x?123．

（2）如图，设⊙O2平移t秒后到⊙O3处与⊙O1第一次外切于点P，⊙O3与x轴相切于D1点，连接OO13，13，O3D1．则O1O3?O1P?PO3?8?5?O3D1⊥x轴， ?O3D1?5，

在Rt△O1O3D1中

O1D1?O1O32?O3D12?132?52?12．O1D?OO1?OD?4?13?17，

?D1D?O1D?O1D1?17?12?5，?t?5?5（秒），?⊙O2平移的时间为51秒．[来