高三数学第一轮复习 第11课时—函数的单调性教案

一．课题：函数的单调性

二．教学目标：理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题． 三．教学重点：函数单调性的判断和函数单调性的应用．

四．教学过程： （一）主要知识：

1．函数单调性的定义；

2．判断函数的单调性的方法；求函数的单调区间； 3．复合函数单调性的判断． （二）主要方法：

1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；

2．判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；（3）利用函数的导数．

3．注意函数的单调性的应用；

4．注意分类讨论与数形结合的应用． （三）例题分析：

例1．（1）求函数y?log0.7(x2?3x?2)的单调区间；

（2）已知f(x)?8?2x?x,若g(x)?f(2?x)试确定g(x)的单调区间和单调性． 解：（1）单调增区间为：(2,??),单调减区间为(??,1)，

（2）g(x)?8?2(2?x)?(2?x)??x4?2x2?8，g?(x)??4x?4x， 令 g?(x)?0，得x??1或0?x?1，令 g?(x)?0，x?1或?1?x?0 ∴单调增区间为(??,?1),(0,1)；单调减区间为(1,??),(?1,0)．

222322exa例2．设a?0，f(x)??x是R上的偶函数．

ae（1）求a的值；（2）证明f(x)在(0,??)上为增函数．

1exax解：（1）依题意，对一切x?R，有f(?x)?f(x)，即x?ae??

aeaex111∴(a?)(ex?x)?0对一切x?R成立，则a??0，∴a??1，∵a?0，∴a?1．

aea11xx（2）设0?x1?x2，则f(x1)?f(x2)?e1?e2?x?x

e1e211?ex2?x1x2x1x1x2?x1?(e?e)(x1?x2?1)?e(e?1)x2?x1，

eex?xx?x由x1?0,x2?0,x2?x1?0，得x1?x2?0,e21?1?0，1?e21?0，∴

f(x1)?f(x2)?0，

即f(x1)?f(x2)，∴f(x)在(0,??)上为增函数．

例3．（1）（《高考A计划》考点11“智能训练第9题”）若f(x)为奇函数，且在(??,0)上是减函数，又f(?2)?0，则x?f(x)?0的解集为(??,?2)(2,??)．

例4．（《高考A计划》考点10智能训练14）已知函数f(x)的定义域是x?0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)，且当x?1时

f(x)?0,f(2)?1，

（1）求证：f(x)是偶函数；（2）f(x)在(0,??)上是增函数；（3）解不等式f(2x?1)?2．

2

解：（1）令x1?x2?1，得f(1)?2f(1)，∴f(1)?0，令x1?x2??1，得∴

f(?1)?0，

∴f(?x)?f(?1?x)?f(?1)?f(x)?f(x)，∴f(x)是偶函数． （2）设x2?x1?0，则

xxxf(x2)?f(x1)?f(x1?2)?f(x1)?f(x1)?f(2)?f(x1)?f(2)

x1x1x1xx∵x2?x1?0，∴2?1，∴f(2)?0，即f(x2)?f(x1)?0，∴f(x2)?f(x1)

x1x1∴f(x)在(0,??)上是增函数．

（3）f(2)?1，∴f(4)?f(2)?f(2)?2，

∵f(x)是偶函数∴不等式f(2x2?1)?2可化为f(|2x2?1|)?f(4)， 又∵函数在(0,??)上是增函数，∴|2x?1|?4，解得：?即不等式的解集为(?21010， ?x?221010,)． 22a例5．函数f(x)?log9(x?8?)在[1,??)上是增函数，求a的取值范围．

xa分析：由函数f(x)?log9(x?8?)在[1,??)上是增函数可以得到两个信息：①对任意

xa的1?x1?x2,总有f(x1)?f(x2)；②当x?1时，x?8??0恒成立．

xa解：∵函数f(x)?log9(x?8?)在[1,??)上是增函数，∴对任意的1?x1?x2,有

xaaaaf(x1)?f(x2)，即log9(x1?8?)?log9(x2?8?)，得x1?8??x2?8?，即

x1x2x1x2a(x1?x2)(1?)?0，

x1x2aa∵x1?x2?0，∴1??0, ??1, a??x1x2，

x1x2x1x2∵x2?x1?1，∴要使a??x1x2恒成立，只要a?1；

a又∵函数f(x)?log9(x?8?)在[1,??)上是增函数，∴1?8?a?0，

x即a?9，综上a的取值范围为[?1,9)．

aa另解：（用导数求解）令g(x)?x?8?，函数f(x)?log9(x?8?)在[1,??)上是增

xx函数，

aa在[1,??)上是增函数，g?(x)?1?2， xxa∴1?8?a?0，且1?2?0在[1,??)上恒成立，得?1?a?9．

x∴g(x)?x?8?（四）巩固练习：

1．《高考A计划》考点11，智能训练10；

2．已知f(x)是R上的奇函数，且在(0,??)上是增函数，则f(x)在(??,0)上的单调性为 ．

五．课后作业：《高考A计划》考点1，智能训练4，5， 7，8，12，13，15．