2019-2020最新高三数学一轮复习第4讲函数的基本性质教案

减函数3．最值 （1）定义： 最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。 最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。 注意： ○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M； ○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。 （2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法： ○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○2 利用图象求函数的最大（小）值； ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y=f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 4．周期性 （1）定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)= f(x)，则称f(x)为周期函数； （2）性质：①f(x+T)= f(x)常常写作增函数是减函数。 周期性若f(x)的周期中，存在是必修4学习一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T， 5 / 21 的内则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为典例解析: 。 容，要求学生找到必修4的相关内容，并超前复 1．(20xx·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A．y＝x＋1 1C．y＝ x B．y＝－x3 D．y＝x|x| 解析：选D 由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由y＝x|x|的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D. 2．函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) 1A．k> 21C．k>－ 2 1B．k< 21D．k<－ 2习。 解析：选D 函数y＝(2k＋1)x＋b是减函数， 1则2k＋1<0，即k<－. 23．(教材习题改编)函数f(x)＝错误!的最大值是( ) 4A. 53C. 4 2 5B. 44D. 31?33?解析：选D ∵1－x(1－x)＝x－x＋1＝?x－?2＋≥，∴0<错误!≤错误!. 2?44?4．(教材习题改编)f(x)＝x－2x(x∈)的单调增区间为________；f(x)max＝________. 解析：函数f(x)的对称轴x＝1，单调增区间为，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8. 答案： 8 ??1??5．已知函数f(x)为R上的减函数，若mf(n)； ?1???>1，即|x|<1，且x≠0. ?x?故－1 (－1,0)∪(0,1) 1.函数的单调性是局部性质 从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子 区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整 个定义域上不一定单调． 2．函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函 数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等 函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、 对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函 数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性， 再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间． 通过具体问 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间题，让应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 函数单调性的判 典题导入 a (理)判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性． x 设x1>x2>0，则 7 / 21 断 学生理解函数的单调区间与函数在某个区间上单调的含义的不 ??a?x1???a?x2??a?x1a?x2? f(x1)－f(x2)＝?x1＋?－?x2＋?＝(x1－x2)＋?－?＝(x1－x2)＋错误!＝a???. (x1－x2)?1－x1x2??a当a≥x1>x2>0时，x1－x2>0,1－<0， x1x2有f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0)是减函数； xa当x1>x2≥a时，x1－x2>0,1－>0， x1x2有f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， a此时，函数f(x)＝x＋(a>0)是增函数． x同。 a综上可知，函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，a ]上为减函数；在[a，＋∞)上通过此x例，让为增函数． 学生回1 (文)证明函数f(x)＝2x－在(－∞，0)上是增函数． x顾，巩 设x1，x2是区间(－∞，0)上的任意两个自变量的值，且x10， x1x2 固用定义证明单调性的步骤。