（完整word版）解三角形高考大题-带答案(3)

解三角形高考大题，带答案

1. （宁夏17）（本小题满分12分）

如图，∠ACB?90，BD交AC于E，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，

oAB?2．

（Ⅰ）求cos∠CAE的值； （Ⅱ）求AE．

解：（Ⅰ）因为∠BCD?90?60?150，

oooD E A C CB?AC?CD，

所以∠CBE?15．

ooB

o所以cos∠CBE?cos(45?30)?（Ⅱ）在△ABE中，AB?2， 由正弦定理

6?2． ···················································· 6分 4AE2?．

sin(45o?15o)sin(90o?15o)o故AE?2sin30?cos15o2?126?24?6?2． 12分

2. （江苏17）（14分） 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。

（1）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式； ②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；

（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

P D C

【解析】：本小题考查函数的概念、

解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。

A （1）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ(rad)，则OA?故OB?O B AQ10?，

cos?BAOcos?10 cos?1010??10?10tan? cos?cos?又OP?10?10tan?，所以y?OA?OB?OP?所求函数关系式为y?20?10sin??10cos?(0????4)

②若OP=x(km)，则OQ=10-x，所以OA?OB?(10?x)2?102?所求函数关系式为y?x?2x2?20x?200x2?20x?200 (0?x?10)

?10cos?cos??(20?10sin?)(?sin?)10(2sin??1)（2）选择函数模型①，y'? ?22cos?cos?1??令y'?0得sin?? Q0??????

246???当??(0,)时y'?0，y是θ的减函数；当??(,)时y'?0，y是θ的增函数；

664120?10??2?10?103?10 所以当??时，ymin?632此时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边3. （辽宁17）（本小题满分12分）

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c?2，C?（Ⅰ）若△ABC的面积等于3，求a，b； （Ⅱ）若sinB?2sinA，求△ABC的面积． 解：（Ⅰ）由余弦定理得，a?b?ab?4， 又因为△ABC的面积等于3，所以22103km处。 3?． 31······················· 4分 absinC?3，得ab?4． ·

2?a2?b2?ab?4，联立方程组?解得a?2，b?2． ·············································· 6分

ab?4，?（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为b?2a， ························································· 8分

?a2?b2?ab?4，2343联立方程组?解得a?，b?．

33?b?2a，所以△ABC的面积S?123absinC?． ····················································· 12分 234．（全国Ⅰ17）（本小题满分12分）

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB?3，bsinA?4． （Ⅰ）求边长a；

（Ⅱ）若△ABC的面积S?10，求△ABC的周长l． 解：（1）由acosB?3与bsinA?4两式相除，有：

3acosBacosBbcosB????cotB 4bsinAsinAbsinBb又通过acosB?3知：cosB?0， 则cosB?34，sinB?， 551acsinB，得到c?5． 2则a?5． （2）由S?a2?c2?b2由cosB?，

2ac解得：b?25， 最后l?10?25．

5．（全国Ⅱ17）（本小题满分10分） 在△ABC中，cosA??53，cosB?． 135（Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）设BC?5，求△ABC的面积．

512，得sinA?， 131334由cosB?，得sinB?． ··········································································· 2分

5516所以sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?． ····································· 5分

6545?BC?sinB5?13． ·（Ⅱ）由正弦定理得AC?·········································· 8分 ?12sinA3131113168所以△ABC的面积S??BC?AC?sinC??5??···················· 10分 ?． ·

223653解：（Ⅰ）由cosA??6. （上海17）（本题满分13分）

如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC．小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里 有两条笔直的小路AD，DC，且拐弯处的转角为120．已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）． C

【解法一】设该扇形的半径为r米. 由题意，得

AoCD=500（米），DA=300（米），∠CDO=60……………………………4分120 在?CDO中，CD?OD?2?CD?OD?cos60?OC,……………6分

220200O即500??r?300??2?500??r?300??221?r2,…………………….9分 2解得r?4900?445（米）. …………………………………………….13分 110【解法二】连接AC，作OH⊥AC，交AC于H…………………..2分 由题意，得CD=500（米），AD=300（米），?CDA?120………….4分

在?ACD中,AC2?CD2?AD2?2?CD?AD?cos1200 12?500?300?2?500?300??700,222CHA1200∴ AC=700（米） …………………………..6分

AC2?AD2?CD211cos?CAD??.………….…….9分

2?AC?AD14在直角14?HAO中,AH?350（米）,cos?HA0?∴ OA?O11, 14AH4900??445（米）. ………………………13分

cos?HAO11222. （重庆17）（本小题满13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知b?c?a?3bc，求： （Ⅰ）A的大小;

（Ⅱ）2sinBcosC?sin(B?C)的值. 解：(Ⅰ)由余弦定理，a?b?c?2bccosA,

222b2?c2?a23bc3故cosA???,2bc2bc2

所以A??6. (Ⅱ) 2sinBcosC?sin(B?C)

?2sinBcosC?(sinBcosC?cosBsinC)?sinBcosC?cosBsinC ?sin(B?C)

?sin(??A)1?sinA?.28. 在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c.已知c?2,C?⑴若△ABC的面积等于3,求a,b;

?3.

⑵若sinC?sin(B?A)?2sin2A,求△ABC的面积.