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特征函数的性质及其应用
摘 要：本文讨论了特征函数概念，特征函数的若干性质并进一步探讨特征函数在 各个方面的应用以及它们的证明过程。
关键词：特征函数；随机变量
Some properties of characteristic function
and its application
Class3, 2008, Department of Mathematics XueEnde
Abstract: This paper discusses the concept of characteristic function characteristic
function, some properties and further explore the characteristic functionVarious aspects of the application as well as their process of proof
Keywords: The characteristic function of random variables;
1引言
特征函数在概率统计领域中是研究极限定理的强有力的工具，虽然它的作用不像分
布函数那样明显，但是它却有着很好的分析性质。广大数学工作者对此也进行了深入的探讨，得到了特征函数的一些性质以及在各个方面中的应用等一系列成果。它不是单一的学科，与其它学科也有着重要的联系，特别是在物理学上各种热力学关系都以特征函数为基础，所以它在热力学中占有很重要的地位。鉴于此，我们有必要进一步讨论特征函数的相关性质。本文将主要针对特征函数的性质和应用进行分开讨论。
2特征函数的定义及性质
为了讨论方便，先给出特征函数的概念
2.1基本概念 我们称?(t)?Eeit?,??(?t???是)?的特征函数.（其中令?是任一随机变量）
上面介绍了特征函数的概念，接下来讨论一下特征函数的一些性质.
2.2特征函数的性质 性质1 令?1,那么?1??2的特征函数?2的特征函数分别为?1(t),?2(t),且?1与?2相互独立，
为?(t)??1(t)?2(t).
证明 设?1,?2是两个相互独立的随机变量，则?1,?2的特征函数
121?1(t)?Eeit?,?2(t)?Eeit?中的eit?与eit?也相互独立.由数学期望的性质可得
2?(t)?Eeit(???)?E(eit??eit?)?Eeit??Eeit???1(t)?2(t),故性质1得证.
121212性质2 令随机变量?存在有n阶矩，那么?的特征函数?(t)可以微分n次，且若k?n,则
?k(0)?ikE?k.
dkitxkk??kkitxxdF(x)??,故下式中在积分号下对t求证明 根据假定(e)?ixe?x.???kdtk导n次，于是对0?k?n，有?(t)????k??ixkeitxp(x)dx?ikE(?keit?)
令t=0，即?k(0)?ikE(?k).
?性质3 若?(t)是特征函数，则（1）?(?t)，（2）?(t),（3）??(t)?(n?N)也是特征
2n函数.
证明 （1）若?(t)是随机变量?的特征函数，那么?(?t)可以看作是随机变量（??）的特征函数.
（2）若?1与?2独立同分布，其特征函数为?(t)，那么?(t)??(t)?(?t)是随机变量?1??2的特征函数.
（3）若?1,?2,?,?m独立同分布，其特征函数为?(t)，那么??(t)?是随机变量?1??2????m的特征函数.
性质4（唯一性）随机变量?的分布函数F(x)仅由特征函数?(t)决定. 证明 设x是任取的F(x)的连续点.令z设在F的连续点趋近??，则有
1F(x)?limlimz???A??2?n2?A?Ae?itz?e?itx?(t)dt. it根据分布函数左连续，并且F的连续点在直线上稠密， 即对每个x?(??,??)有F的连续点xm?x,xm?x. 从而F由其连续点上的值唯一确定.
性质5 当且仅当?(t)?eiat时，函数?(t)与
1都是一个特征函数. ?(t)证明 若?(t)与
1都是特征函数，设随机变量?1与?2相互独立，且?1与?2的特?(t)11.因为?1??2的特征函数为?(t)?1，所以
?(t)?(t)征函数分别是?(t)和
P(?1??2?0)?1. 故有
F(x)?P(?1?x)?P(?1?x,?2??x)?P(?1?x)P(?2??x)?P(?1?x)P(?1?x)??F(x)?.
2因此必存在常数a,使得
?0x?aF(x)???1x?a所以?服从单点分布P(??a)?1,即?(t)?eiat.
1?e?iat也是特征函数. ?(t)反过来，若?(t)?eiat，则
所以当且仅当?(t)?eiat时，?(t)与
1都是特征函数. ?(t)性质6 设??a??b（a,b是任意常数），记?在Y?Z时条件特征函数为?k(t)，则
?k(t)?eibt?k(at).
证明?k(t)?E(eit(a??b)?Y?k)?E(eitb??Y?k)eitb?eitb?k(at). 3 特征函数的应用 3.1在证明极限定理的应用
定理1 （辛钦大数定律）设?1,?2,?是一列独立分布的随机变量，且数学期望存在
1np，则对任意的??0，有??i???a. E?i?a(i?1,2,?)ni?1证明 因为?1,?2,?具有一样的分布，所以它们也有一样的特征函数.我们把这个特征函
数记为?(t)，又由于E?i?a存在，从而特征函数?(t)有展开式?(t)??(0)???(0)???t?
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