江苏省镇江市2016-2017学年高一第一学期期末数学试卷含解析

16．已知sin（π﹣α）﹣2sin（（1）求sinαcosα+sin2α的值．

+α）=0．

（2）若tan（α+β）=﹣1，求tanβ的值．

【考点】两角和与差的正切函数；三角函数的化简求值．

【分析】（1）由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求tanα=2，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．

（2）由tanα=2，利用两角和的正切函数公式即可计算得解． 【解答】解：（1）∵sin（π﹣α）﹣2sin（∴sinα﹣2cosα=0，可得：tanα=2， ∴sinαcosα+sin2α=（2）∵tanα=2， 可得：tan（α+β）=∴解得：tanβ=3．

17．设θ∈（0，

），且cos（θ+

）=． =

=﹣1， =

==．

+α）=0，

（1）求sinθ的值； （2）求sin（2θ+）的值． 【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数． 【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin（θ+（θ+

）﹣

，将θ+），将θ变形为

看作整体，利用两角差的正弦函数公式计算即可．

（2）由（1）可求cosθ，利用两角和的正弦函数公式即可计算求值得解． 【解答】解：（1）∵θ∈（0，∴θ+

∈（

，

），sin（θ+）﹣

），且cos（θ+）=）cos

﹣cos（θ+）=．

=

， ）sin

=

×

﹣

∴sinθ=sin[（θ+

=

．

]=sin（θ+

（2）由（1）可得：cosθ=cos[（θ+）﹣]=cos（θ+）cos+sin（θ+）

sin=+=）=sin[（θ+

=

，

）+θ]=sin（θ+．

）cosθ+cos（θ+

）sinθ=

×

可得：sin（2θ+

+

18．已知实数a为常数，函数f（x）=a?4x﹣2x+1． （1）已知a=，求函数f（x）的值域；

（2）如果函数y=f（x）在（0，1）内有唯一零点，求实数a的范围； （3）若函数f（x）是减函数，求证：a≤0． 【考点】函数零点的判定定理．

【分析】（1）将a代入，对函数配方，利用二次函数求值域；

（2）换元，设2x=t，t∈（1，2），则f（t）有唯一零点，利用零点存在定理得到f（1）f（2）＜0即求；

（3）利用复合函数的单调性得到f（t）=at2﹣t+1，（t＞0）为减函数，对a进行讨论得到a的范围．

【解答】解：实数a为常数，函数f（x）=a?4x﹣2x+1． （1）a=，函数f（x）=?4x﹣2x+1=，所以其值域为[

）；

（2）如果函数y=f（x）在（0，1）内有唯一零点，设2x=t，t∈（1，2），则f（t）有唯一零点，所以f（1）f（2）＜0即a（4a﹣1）＜0解得0＜a＜；

（3）证明：若函数f（x）是减函数，则f（t）=at2﹣t+1，（t＞0）为减函数，a=0，f（t）=﹣t+1为减函数，满足题意；a＞0，二次函数开口向上，不满足题意；a＜0，对称轴小于0，满足题意；综上a≤0．

19．AD与边AB垂直，AD=800m，某养殖场原有一块直角梯形的水域ABCD，其中BC，AB=2BC=600m．为满足钓鱼爱好者需要，计划修建两道互相垂直的水上栈道MF与ME，点M，E，F都在岸边上，其中M为AB的中点，点E在岸边BC上，设∠EMB=θrad，水上栈道MF与ME的长度和记为f（θ）（单位：m）． （1）写出f（θ）关于θ的函数关系式，并指出tanθ的范围； （2）求f（θ）的最小值，并求出此时θ的值．

【考点】三角形中的几何计算．

【分析】（1）由E在BC上，∠EMB=θ，得出0＜θ≤45°；

利用直角三角形的边角关系求出ME、MF，写出f（θ）=ME+MF；

（2）求出f（θ）的导数，利用f′（θ）=0求出f（θ）的最小值以及对应的θ值． 【解答】解：（1）梯形ABCD中，BC⊥AB，AD∥BC，AD=800m，AB=2BC=600m； MF⊥ME，且M为AB的中点，点E在BC上，设∠EMB=θ，则0＜θ≤45°； ∴ME=MF=∴f（θ）=∴0＜tanθ≤1； （2）由f（θ）=得f′（θ）=300（+﹣

，

）=300?，

+=

=，

，

，其中0°＜θ≤45°，

令f′（θ）=0，解得sinθ=cosθ，

∴θ=45°，且0°＜θ＜45°时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减； ∴θ=45°时，f（θ）=

20．设常数θ∈（0，（x）=f（

），函数f（x）=2cos2（θ﹣x）﹣1，且对任意实数x，f+

=600

，为最小值．

﹣x）恒成立．

（1）求θ值；

（2）试把f（x）表示成关于sinx的关系式； （3）若x∈（0，π）时，不等式f（x）＞2a?f（a的范围．

）﹣13f（）恒成立，求实数

【考点】函数恒成立问题．

【分析】（1）利用倍角公式降幂，结合f（x）=f（从而求得θ值；

（2）把θ值代入即可求得f（x）关于sinx的关系式； （3）把f（x）＞2a?f（

）﹣13f（）转化为cos2x﹣acosx+3＞0．令cosx=t（﹣

﹣x）恒成立求得cos2θ=0，

1＜t＜1），则t2﹣at+3＞0在t∈（﹣1，1）上恒成立，再转化为关于a的不等式组求解．

【解答】解：（1）f（x）=2cos2（θ﹣x）﹣1=cos（2θ﹣3x）， 则f（

）=cos（2θ﹣π+3x）=﹣cos（2θ+3x）．

﹣x），得cos（2θ﹣3x）=﹣cos（2θ+3x）， 由f（x）=f（

即cos（2θ﹣3x）+cos（2θ+3x）=0， ∴2cos2θcos3x=0，则cos2θ=0， ∵θ∈（0，

），∴θ=

；

）=sin3x=3sinx﹣4sin3x；

（2）f（x）=2cos2（θ﹣x）﹣1=cos（2θ﹣3x）=cos（（3）由f（x）＞2a?f（

）﹣13f（），得sin3x＞2asin2x﹣13sinx，

∴3sinx﹣4sin3x＞4asinxcosx﹣13sinx，即cos2x﹣acosx+3＞0． 令cosx=t（﹣1＜t＜1），则t2﹣at+3＞0在t∈（﹣1，1）上恒成立．

∴△=a2﹣12＜0或或．

解得：﹣4≤a≤4．