江苏省苏北四市2014届高三期末统考数学试题

苏 北 四 市 数 学 试 题

数学Ⅰ 必做题部分

（本部分满分160分，时间120分钟）

注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。 4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等加黑、加粗。 1参考公式：锥体的体积公式：V?Sh，其中S是锥体的底面面积，h是高．

3一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上． ．．．．

1．设复数z1?2?i,z2?m?i(m?R，i为虚数单位),若z1?z2为实数,则m的值为 ▲ ．

2．已知集合A?{2?a,a}，B?{?1,1,3}，且A?B，则实数a的值是 ▲ ．

3．某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为 ▲ ．

4．在?ABC的边AB上随机取一点P, 记?CAP和?CBP的面积分别为S1和S2，则S1?2S2的概率是

▲ ．

开始 x2y25．已知双曲线2?2?1的一条渐近线方程为2x?y?0，则该双曲线的离心

abS?0,n?1 率为 ▲ ．

6．右图是一个算法流程图，则输出S的值是 ▲ ． n?n?2 xx7．函数f(x)?lg(2?3)的定义域为 ▲ ．

8．若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为 ▲ ． 9．在△ABC中，已知AB?3，A?120o，且?ABC的面积为边长为 ▲ ．

10．已知函数f(x)?xx?2，则不等式f(2?x)≤f(1)的解集为 ▲ ． ?11．已知函数f(x)?2sin(2?x?)(??0)的最大值与最小正周期相同，则函数

4f(x)在[?1，1]上的单调增区间为 ▲ ．

Sk?2的值为 ▲ ．

结束 （第6题图）

153，则BC4S?S?n n?10 Y N 输出S 12．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4，a3，a5成等差数列，且Sk?33，Sk?1??63，其中k?N?，则????????????????13．在平面四边形ABCD中，已知AB?3，点E,F分别在边AD,BC上，且AD?3AE，若BC?3BF．DC?2，

????????????????向量AB与DC的夹角为60?，则AB?EF的值为 ▲ ．

14．在平面直角坐标系xOy中，若动点P(a,b)到两直线l1：y?x和l2：y??x?2的距离之和为22，则a2?b2的最大值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明

过程或演算步骤．

15．(本小题满分14分)已知向量a?(cos?,sin?)，b?(2,?1)．

sin??cos? (1)若a?b，求的值；

sin??cos??? (2)若a?b?2，??(0,)，求sin(??)的值． A 24

16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥P?ABC中，点E,F分别是棱

PC,AC的中点．

(1)求证：PA//平面BEF；

(2)若平面PAB?平面ABC，PB?BC，求证：BC?PA．

17．(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为?（弧度）．

（1）求?关于x的函数关系式；

（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰

费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求

出x为何值时，y取得最大值？

P E F C （第16题图）

B

18．(本小题满分16分)已知?ABC的三个顶点A(?1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为?H．

(1)若直线l过点C，且被?H截得的弦长为2，求直线l的方程；

(2)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M,N，使得点M是线段

PN的中点，求?C的半径r的取值范围．

19．(本小题满分16分)已知函数f(x)?x3?52，其图象是曲线C． x?ax?b（a,b为常数）

2（1）当a??2时，求函数f(x)的单调减区间；

（2）设函数f(x)的导函数为f?(x)，若存在唯一的实数x0，使得f(x0)?x0与f?(x0)?0同时成立，求实

数b的取值范围；

（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，在点B处作曲

线C的切线l2，设切线l1,l2的斜率分别为k1,k2．问：是否存在常数?，使得k2??k1？若存在，求出?的值；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分16分）已知数列{an}满足a1?x，a2?3x，Sn?1?Sn?Sn?1?3n2?2(n≥2,n?N*)，Sn是数列{an} 的前n项和． (1)若数列{an}为等差数列． （ⅰ）求数列的通项an；

（ⅱ）若数列{bn}满足bn?2an，数列{cn}满足cn?t2bn?2?tbn?1?bn，试比较数列{bn} 前n项和Bn与

{cn}前n项和Cn的大小；

(2)若对任意n?N*，an?an?1恒成立，求实数x的取值范围．

数 学 试 题

数学Ⅱ 附加题部分

注意事项

1． 本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题，共4题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2． 作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。 21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

AA．(选修4—1：几何证明选讲)（本小题满分10分） E如图，点D为锐角?ABC的内切圆圆心，过点A作直线BD的垂线，垂足为F，

F?圆D与边AC相切于点E．若?C?50，求?DEF的度数． DB．(选修4—2：矩阵与变换)（本小题满分10分）

B?a0?(第21(A)图)

设矩阵M??（其中a＞0，，若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所b＞0）??0b?Cx2对应的变换作用下得到曲线C?：?y2?1，求a+b的值．

4C．(选修4—4：坐标系与参数方程)（本小题满分10分）

?2t，?x??2在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程是?（t为参数）；以O 为极点，x轴

2?y?t?42??2?正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为??2cos(??)．由直线l上的点向圆C引切线，求

4切线长的最小值．

D．(选修4—5：不等式证明选讲)（本小题满分10分）

111已知a,b,c均为正数,证明：a2?b2?c2?(??)2≥63．

abc

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．

说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

某品牌汽车4S店经销A,B,C三种排量的汽车，其中A,B,C三种排量的汽车依次有５，4，3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能． (1)求该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车的概率；

(2)记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X，求X的分布列及数学期望． 23．（本小题满分10分）

????????????已知点A(?1,0)，F(1,0)，动点P满足AP?AF?2|FP|． (1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)在直线l：y?2x?2上取一点Q，过点Q作轨迹C的两条切线，切点分别为M,N．问：是否存在

点Q，使得直线MN//l？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

数学Ⅰ部分

一、填空题：

11．2 2．1 3．20 4． 5．5 6．25 7．(??,0)

3113 8． 9．7 10．??1,???11．[?,]12．129 13．7 14．18

644 二、解答题：

15．（1）由a?b可知，a?b?2cos??sin??0，所以sin??2cos?，……………………………2分

所以

sin??cos?2cos??cos?1??． ……………………………………………………6分

sin??cos?2cos??cos?3（2）由a?b?(cos??2,sin??1)可得，

a?b?(cos??2)2?(sin??1)2?6?4cos??2sin??2，

即1?2cos??sin??0， ① ……………………………………………………………10分 3?sin?????5，…………………12分 又cos2??sin2??1，且??(0,) ②，由①②可解得，?2?cos??4?5??223472所以sin(??)?． ……………………………14分 (sin??cos?)?(?)?4225510P 16．（1）在?PAC中，E、F分别是PC、AC的中点，所以PA//EF，

又PA?平面BEF，EF?平面BEF，

所以PA//平面BEF．……………………………………6分 A （2）在平面PAB内过点P作PD?AB，垂足为D．

因为平面PAB?平面ABC，平面PAB?平面ABC?AB，

F C

D

E B

PD?平面PAB，所以PD?平面ABC,………………8分

又BC?平面ABC，所以PD?BC，………………………………………………………10分 又PB?BC，PD?PB?P，PD?平面PAB，

PB?平面PAB，所以BC?平面PAB，…………………………………………………12分

又PA?平面PAB，所以BC?PA．………………………………………………………14分

17．(1)设扇环的圆心角为?，则30???10?x??2(10?x)，

所以??10?2x，………………………………………………………………………………4分 10?x1 (2) 花坛的面积为?(102?x2)?(5?x)(10?x)??x2?5x?50, (0?x?10)．………………7分

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