冯慈璋马西奎工程电磁场导论课后重点习题解答

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rsin???r2?r 电磁场习题解答 第 9 页

??1(Arsin?)]

rsin???Acos?Acos?(cos2??sin2?)?]sin?sin?

??0[?6Asin?cos??解：（1）、设内球中的电位函数为?1，介质的介电常数为?1，两球表面之

间的电位函数为?2，介质的介电常数为?2，则?1，?2所满足的微分方程分别为

?2?1???1?， ?2?2??2 ?1?2选球坐标系，则

??1?11?2??11?1?2?1 (r)?(sin?)???2222?r???1r?rrsin???rsin?????2?21?2??21?1?2?2 (r)?(sin?)???2222?r???2r?rrsin???rsin???由于电荷对称，所以?1和?2均与?、?无关，即?1和?2只是r的函数，所以

?11?2??11?2??2?2， (r)??(r)??r2?r?r?2?r?1r2?r定解条件为：

分界面条件： ?1r?a??2 电位参考点： ?2 附加条件：?1r?0； ?1r?a??1?r??2r?a??2?r

r?ar?b?0；

为有限值

（2）、设介电常数为?1的介质中的电位函数为?1，介电常数为?2的介质中

电磁场习题解答 第 10 页

的电位函数为?2，则?1、?2所满足的微分方程分别为

?2?1???1?， ?2?2??2 ?1?2选球坐标系，则

??11?2??11?1?2?1(r)?2(sin?)?2?0 22?r??r?rrsin???rsin?????21?2??21?1?2?2(r)?2(sin?)?2?0

?r??r2?rrsin???rsin???2由于外球壳为一个等电位面，内球壳也为一个等电位面，所以?1和?2均

与?、?无关，即?1和?2只是r的函数，所以

1?2??11?2??2(r)?0(r)?0 ， 22?r?rr?rr?r22 分界面条件： ?1?????2???

由分解面条件可知?1??2 。令 ?1??2??，则在两导体球壳之间电位满

足的微分方程为

1?2??(r)?0 2?rr?r 电位参考点： ?r?b?0；

边界条件：2?a2(?1Er??2Er)r?a?Q，即 2?a2(?1??2)(???)?Q ?rr?a（3）、设内外导体之间介质的介电常数为?，介质中的电位函数为?，则?所满足的微分方程分别为

电磁场习题解答 第 11 页

?2??0， 选球柱坐标系，则

1???1?2??2? (r)?2?2?0 2r?r?rr???z1—9—4、一个由两只同心导电球壳构成的电容器，内球半径为a，外球壳半径为b，外球壳很薄，其厚度可略去不计，两球壳上所带电荷分别是?Q和?Q，均匀分布在球面上。求这个同心球形电容器静电能量。

解：以球形电容器的心为心做一个半径为r的球面，并使其介于两导体球壳之间。则此球面上任意一点的电位移矢量为

? D?Q?er 4?r2??DQ?电场强度为 E??e 2r?4??r1??Q2而电场能量密度为 we?E?D?

232??2r4球形电容器中储存的静电场能量为

b2??Q22We??wedV????rsin?d?d?dr

Va0032??2r4b2??Q2????sin?d?d?dr a0032??2r2b1Q2Q2b10?(cos0?cos?)(2??0)?2dr?dr

ar8???ar232??2Q211Q2b?a?(?)=? 8??ab8??ab 电磁场习题解答 第 12 页