冯慈璋马西奎工程电磁场导论课后重点习题解答

由于对称并假定同轴圆柱面很长，因此介质中的电位?和?及z无关，即?只是r的函数，所以

1???(r)?0 r?r?r 电位参考点： ?r?b?0； 边界条件：2?a?Er 2?a?(?

1－7－3、在无限大接地导体平板两侧各有一个点电荷q1和q2，与导体平板的距离均为d，求空间的电位分布。

r?a??，即

??)?? ?rr?a

解：设接地平板及q1和q2如图（a）所示。选一直角坐标系，使得z轴经

过q1和q2且正z轴方向由q2指向q1，而x，y轴的方向与z轴的方向符合右手螺旋关系且导体平板的表面在x，y平面内。计算z?0处的电场时，在（0,0,?d）处放一镜像电荷?q1，如图（b）所示，用其等效q1在导体平板上的感应电荷，因此

?1?q111(?)

2224??0x2?y2?(z?d)2x?y?(z?d)计算z?0处的电场时，在（0,0,d）处放一镜像电荷?q2如图（c）所示，用

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其等效q2在导体平板上的感应电荷，因此

?2?q211(?)

2222224??0x?y?(z?d)x?y?(z?d)1－7－5、空气中平行地放置两根长直导线，半径都是2厘米，轴线间距

离为12厘米。若导线间加1000V电压，求两圆柱体表面上相距最近的点和最远的点的电荷面密度。

解：由于两根导线为长直平行导线，因此当研究它们附近中部的电场时可将它们看成两根无限长且平行的直导线。在此假定下，可采用电轴法求解此题，电轴的位置及坐标如图所示。

12?6cm 由于对称 h?2而 b?h2?R2?62?22?42cm

??设负电轴到点p(x,y)的距离矢量为r2，正电轴到点p(x,y)的距离矢量为r1（p点应在以R为半径的两个圆之外），则p点的电位为

r2??(x?b)2?y2ln()?ln ?(x,y)? 222??0r12??0(x?b)?y1两根导体之间的电压为U，因此右边的圆的电位为U，即

2τ(h?R?b)2U?(h?R,0)?ln? 22??02 (h?R?b) 电磁场习题解答 第 6 页

由此可得

??2??0Uh-R?b2lnh-R-b250?10004ln(1?2)?250ln(1?2)

(x?b)2?y2ln于是 ?(x,y)? 22(x?b)?yln(1?2)?E??grad?

(x?b)[(x?b)2?y2]?(x?b)[(x?b)2?y2]???{ex2222[(x?b)?y][(x?b)?y]ln(1?2)

250?

y[(x?b)?y]?y[(x?b)?y]?ey}[(x?b)2?y2][(x?b)2?y2]2222

由于两根导线带的异号电荷相互吸引，因而在两根导线内侧最靠近处电场最强电荷密度最大，而在两导线外侧相距最远处电荷密度最小。

?max(x?b)[(x?b)2?y2]?(x?b)[(x?b)2?y2]????0{ex 2222[(x?b)?y][(x?b)?y]ln(1?2)250??(? ex) x?h?Ry?0y[(x?b)2?y2]?y[(x?b)2?y2]? ?ey}2222[(x?b)?y][(x?b)?y] ??011?)?1.770?10?7C/m2

ln(1?2)h?R?bh?R?b(250?min(x?b)[(x?b)2?y2]?(x?b)[(x?b)2?y2]????0{ex2222[(x?b)?y][(x?b)?y]ln(1?2)250y[(x?b)2?y2]?y[(x?b)2?y2]??ey}[(x?b)2?y2][(x?b)2?y2]?? ex x?h?Ry?0

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???0

11?)?8.867?10?8C/m2

ln(1?2)h?R?bh?R?b(2501—8、对于空气中下列各种电位函数分布，分别求电场强度和电荷体密度： （1）、??Ax2 （2）、??Azyx

（3）、??Ar2sin??Bzr （4）、??Ar2nis?ocs?

解：求解该题目时注意梯度、散度在不同坐标中的表达式不同。

????????????(Ax2)?（1）、E??????(i?j?k)??i??2Axi

?x?y?z?x????D??0(??Ex?Ey?Ez?Ex???)??0??0(?2Ax)??2A?0 ?x?y?z?x?x??????????（2）、E??????(i?j?k)

?x?y?z?Axy?z?Axy?z?Axy?z ??(i?j?k)

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?rr???z 电磁场习题解答 第 8 页