2020年山东省济南市市中区育英教育集团中考数学一模试卷

【分析】（1）由矩形OABC中，AB＝4，BD＝2AD，可得3AD＝4，即可求得AD的长，然后求得点D的坐标，即可求得k的值；

（2）求得点E的坐标，进而得出BE，CE的长度解答即可．

（3）首先假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP＝m，CP＝4﹣m，由∠APE＝90°，易证得△AOP∽△PCE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得m的值，继而求得此时点P的坐标．

【解答】解：（1）∵AB＝4，BD＝2AD， ∴AB＝AD+BD＝AD+2AD＝3AD＝4， ∴AD＝， 又∵OA＝3， ∴D（，3），

∵点D在双曲线y＝上， ∴k＝×3＝4；

（2）∵四边形OABC为矩形， ∴AB＝OC＝4， ∴点E的横坐标为4．

把x＝4代入y＝中，得y＝1， ∴E（4，1）；

∵B（4，3），C（4，0）， ∴BE＝2，CE＝1， ∴BE＝2CE；

（3）假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP＝m，CP＝4﹣m． ∵∠APE＝90°，

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∴∠APO+∠EPC＝90°， 又∵∠APO+∠OAP＝90°， ∴∠EPC＝∠OAP， 又∵∠AOP＝∠PCE＝90°， ∴△AOP∽△PCE， ∴∴

， ，

解得：m＝1或m＝3，

∴存在要求的点P，坐标为（1，0）或（3，0）．

【点评】此题属于反比例函数综合题，考查了待定系数求反比例函数解析式、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意求得点D的坐标与证得△AOP∽△PCE是解此题的关键．

26．（12分）在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D为AC中点，点P是线段AD上的一点，点P与点A、点D不重合），连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，连接A1B1、BB1

（1）如图①，当0°＜α＜90°，在α角变化过程中，请证明∠PAA1＝∠PBB1． （2）如图②，直线AA1与直线PB、直线BB1分别交于点E，F．设∠ABP＝β，当90°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；

（3）如图③，当α＝90°时，点E、F与点B重合．直线A1B与直线PB相交于点M，直线BB′与AC相交于点Q．若AB＝

，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数关系式．

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【分析】（1）先利用旋转得出两个顶角相等的两个等腰三角形，即可得出结论； （2）假设存在，然后利用确定的出AE＝BE，即可求出∠A1AP＝∠AA1P，最后用∠BAC＝45°建立方程化简即可；

（3）先判断出△ABQ∽△CPB，得出比例式即可得出结论．

【解答】解：（1）∵将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，

∴∠APA1＝∠BPB1＝α，AP＝A1P，BP＝B1P， ∴∠AA1P＝∠A1AP＝

＝

∴∠PAA1＝∠PBB1，

（2）假设在α角变化的过程中，存在△BEF与△AEP全等， ∵△BEF与△AEP全等， ∴AE＝BE，

∴∠ABE＝∠BAE＝β， ∵AP＝A1P， ∴∠A1AP＝∠AA1P＝∵AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝45°， ∴β+

＝45°，

， ，

＝

，∠BB1P＝∠B1BP＝

∴α﹣2β＝90°，

（3）当α＝90°时，

∵AP＝A1P，BP＝B1P，∠APA1＝∠BPB2＝90°，

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∴∠A＝∠PBB1＝45°，

∵∠A＝∠C，∠AQB＝∠C+∠QBC＝45°+∠QBC＝∠PBC， ∴△ABQ∽△CPB， ∴∵AB＝∴∴y＝

， ， ， ．

【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解（2）的关键是得出∠BAC＝45°，解（3）的关键是判断出△ABQ∽△CPB，是一道很好的中考常考题．

27．（12分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）． （1）求二次函数表达式；

（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；

（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）用A、B、C三点坐标代入，用待定系数法求二次函数表达式．

（2）设点P横坐标为t，用t代入二次函数表达式得其纵坐标．把t当常数求直线BP解析式，进而求直线BP与x轴交点C坐标（用t表示），即能用t表示AC的长．把△PBA以x轴为界分成△ABC与△ACP，即得到S△PBA＝AC（OB+PD）＝4，用含t的式子代入即得到关于t的方程，解之即求得点P坐标．

（3）作点O关于直线AB的对称点E，根据轴对称性质即有AB垂直平分OE，连接BE

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