八年级下册《第18章平行四边形》单元测试卷

28．（8分）（2011?广宁县一模）如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题，并说明理由． （1）四边形ADEF是什么四边形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形；

（3）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．

考点：

平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；矩形的判定． 专题：

证明题；开放型． 分析：

（1）四边形ADEF平行四边形．根据△ABD，△EBC都是等边三DAE角形容易得到全等条件证明△DBE≌△ABC，然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边形ADEF平行四边形． （2）若边形ADEF是矩形，则∠DAE=90°，然后根据已知可以得到∠BAC=150°．

（3）当∠BAC=60°时，∠DAF=180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在． 解答： 解：（1）四边形ADEF是平行四边形．

理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形． ∴AD=BD=AB，BC=BE=EC ∠DBA=∠EBC=60°

∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA． ∴∠DBE=∠ABC． 在△DBE和△ABC中 ∵BD=BA

∠DBE=∠ABC

BE=BC，

∴△DBE≌△ABC． ∴DE=AC．

又∵△ACF是等边三角形， ∴AC=AF． ∴DE=AF．

同理可证：AD=EF，

∴四边形ADEF平行四边形．

（2）∵四边形ADEF是矩形， ∴∠FAD=90°．

∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°．

∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．

（3）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在． 点评：

此题主要用等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定来解决平行四边形的判定问题，也探讨了矩形，平行四边形之间的关系．