江苏2018高三数学一轮复习 导数及其应用

答案 (－∞，3]

4．(2017·南京、盐城模拟)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为________．

解析 设F(x)＝f(x)－(2x＋4)，则F(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝2－2＝0. F′(x)＝f′(x)－2，对任意x∈R，F′(x)>0， 即函数F(x)在R上是单调增函数， 则F(x)>0的解集为(－1，＋∞)， 故f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)． 答案 (－1，＋∞)

ln x

5．若f(x)＝x，0

解析 f′(x)＝x2， 当x∈(0，e)时，

1－ln x

x2>0，即f′(x)>0，

∴f(x)在(0，e)上为增函数， 又∵0

考点一 利用导数研究函数的单调性 【例1】(2016·四川卷节选)设函数f(x)＝ax2－a－ln x，其中a∈R，讨论f(x)的单调性．

2

12ax－1

解 f′(x)＝2ax－x＝x(x>0)．

当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减． 1

当a>0时，由f′(x)＝0，有x＝.

2a

1??0，?时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 此时，当x∈?

2a???1?

，＋∞?时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 当x∈??2a?

规律方法 用导数讨论(证明)函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤：

(1)求f′(x)；

(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号；

(3)作出结论：f′(x)>0时为增函数；f′(x)<0时为减函数． 【训练1】 设f(x)＝ex(ax2＋x＋1)(a＞0)，试讨论f(x)的单调性． 解 f′(x)＝ex(ax2＋x＋1)＋ex(2ax＋1) ＝ex[ax2＋(2a＋1)x＋2] ＝ex(ax＋1)(x＋2) ?1?

＝aex?x＋a?(x＋2)

??

11x

①当a＝2时，f′(x)＝2e(x＋2)2≥0恒成立， ∴函数f(x)在R上单调递增； 11

②当0＜a＜2时，有a＞2， 1?令f′(x)＝ae?x＋a?(x＋2)＞0，

??

x?

1

有x＞－2或x＜－a，

1?1?令f′(x)＝aex?x＋a?(x＋2)＜0，有－a＜x＜－2，

??

1???1?

∴函数f(x)在?－∞，－a?和(－2，＋∞)上单调递增，在?－a，－2?上单调递减；

????11

③当a＞2时，有a＜2，

1?1?令f′(x)＝aex?x＋a?(x＋2)＞0时，有x＞－a或x＜－2，

??1?1?令f′(x)＝aex?x＋a?(x＋2)＜0时，有－2＜x＜－a，

??

1??1??

∴函数f(x)在(－∞，－2)和?－a，＋∞?上单调递增；在?－2，－a?上单调递减．

????考点二 求函数的单调区间(易错警示)

【例2】(2016·北京卷)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4. (1)求a，b的值； (2)求f(x)的单调区间．

解 (1)f(x)的定义域为R.

∵f′(x)＝ea－x－xea－x＋b＝(1－x)ea－x＋b.

a－2

?f?2?＝2e＋2，?2e＋2b＝2e＋2，

依题设，?即?a－2

?f′?2?＝e－1，?－e＋b＝e－1.

解得a＝2，b＝e.

(2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex，

由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知， f′(x)与1－x＋ex－1同号．

令g(x)＝1－x＋ex1，则g′(x)＝－1＋ex1.

－

－

所以，当x∈(－∞，1)时，g′(x)＜0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g(x)＞0，x∈(－∞，＋∞)， 综上可知，f′(x)＞0，x∈(－∞，＋∞)． 故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞). 规律方法 求函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f′(x)；

(3)在定义域内解不等式f′(x)>0，得单调递增区间； (4)在定义域内解不等式f′(x)<0，得单调递减区间．

易错警示 个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如函数f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(x＝0时，f′(x)＝0)，但f(x)＝x3在R上是增函数．

xa3

【训练2】 已知函数f(x)＝4＋x－ln x－2，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))1处的切线垂直于直线y＝2x. (1)求a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间．

1a1

解 (1)对f(x)求导得f′(x)＝4－x2－x，

13

由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝2x知f′(1)＝－4－a＝－2，解得a

5＝4.

x53

(2)由(1)知f(x)＝4＋4x－ln x－2，(x>0)． x2－4x－5

则f′(x)＝4x2. 令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5. 但－1?(0，＋∞)，舍去．

当x∈(0,5)时，f′(x)<0；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0. ∴f(x)的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0,5)． 考点三 已知函数的单调性求参数(易错警示)

1

【例3】(2017·南京模拟)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝2ax2＋2x(a≠0)． (1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围． 1

解 (1)h(x)＝ln x－2ax2－2x，x>0. 1

∴h′(x)＝x－ax－2.

若函数h(x)在(0，＋∞)上存在单调减区间， 112

则当x>0时，x－ax－2<0有解，即a>x2－x有解． 12

设G(x)＝x2－x，所以只要a>G(x)min.(*) ?1?2

又G(x)＝?x－1?－1，所以G(x)min＝－1.

??所以a>－1.即实数a的取值范围是(－1，＋∞)． (2)由h(x)在[1,4]上单调递减，

1

∴当x∈[1,4]时，h′(x)＝x－ax－2≤0恒成立，(**) 12

则a≥x2－x恒成立，所以a≥G(x)max. ?1?

又G(x)＝?x－1?2－1，x∈[1,4]

??