江苏2018高三数学一轮复习 导数及其应用

第1讲 导数的概念及运算

考试要求 1.导数的概念及其实际背景，A级要求；2.导数的几何意义，B级要1

求；3.根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x的导数，A级要求；4.利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，B级要求．

知 识 梳 理

1．导数的概念

设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，且x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比Δyf?x0＋Δx?－f?x0?值Δx＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该

Δx常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．

若函数y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f′(x)． 2．导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，过点P的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 3．基本初等函数的导数公式

基本初等函数 f(x)＝C(C为常数) f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ex f(x)＝ax(a>0) 导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝cos_x f′(x)＝－sin_x f′(x)＝ex f′(x)＝axln_a f(x)＝ln x f(x)＝logax (a>0，且a≠1) 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； f′?x?g?x?－f?x?g′?x??f?x???′＝(3)?(g(x)≠0)．

[g?x?]2?g?x??

诊 断 自 测

1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( ) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．( )

1f′(x)＝x 1f′(x)＝xln a (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( ) (4)若f(x)＝a3＋2ax＋x2，则f′(x)＝3a2＋2x.( )

解析 (1)f′(x0)表示函数f(x)的导数在x0处的值，而f((x0))′表示函数值f(x0)的导数，其意义不同，(1)错．

(2)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(2)错．

(4)f(x)＝a3＋2ax＋x2＝x2＋2ax＋a3，∴f′(x)＝2x＋2a，(4)错． 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×

2．(选修1－1P57例4改编)函数f(x)＝－2x＋10在区间[－3，－1]内的平均变化率为________．

f（－1）－f（－3）

解析 平均变化率为＝

－1－（－3）－2×（－1）＋10－[－2×（－3）＋10]

＝－2.

2答案 －2

3．(2016·天津卷)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．

解析 因为f(x)＝(2x＋1)ex，

所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex， 所以f′(0)＝3e0＝3. 答案 3

4．(2017·镇江期末)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． 解析 ∵y′＝－5ex，∴所求曲线的切线斜率k＝y′|x＝0＝－5e0＝－5，∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0. 答案 5x＋y＋2＝0

5．(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.

解析 由题意可得f′(x)＝3ax2＋1，则f′(1)＝3a＋1， 又f(1)＝a＋2，

∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． ∵切线过点(2,7)，

∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1. 答案 1

考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y＝exln x； ?211?(2)y＝x?x＋x＋x3?；

??xx

(3)y＝x－sin2cos2； cos x(4)y＝ex. 1?x?ln x＋解 (1)y′＝(e)′ln x＋e(ln x)′＝eln x＋ex＝?e. x???

x

x

x

x1

1

(2)因为y＝x3＋1＋x2，

2?1?

所以y′＝(x3)′＋(1)′＋?x2?′＝3x2－x3.

??1

(3)因为y＝x－2sin x，

1?1??1?

所以y′＝?x－2sin x?′＝x′－?2sin x?′＝1－2cos x.

?????cos x?′e－cos x?e?′sin x＋cos x?cos x?

(4)y′＝?ex?′＝＝－. ex???ex?2规律方法 (1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．

(2)如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．

【训练1】 (1)f(x)＝x(2 017＋ln x)，若f′(x0)＝2 018，则x0＝________. (2)(2015·天津卷)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．

1

解析 (1)f′(x)＝2 017＋ln x＋x·x＝2 018＋ln x．由f′(x0)＝2 018，得ln x0＝0，则x0＝1.

1??

(2)f′(x)＝a?ln x＋x·＝a(1＋ln x)． x???

由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3. 答案 (1)1 (2)3

考点二 导数的几何意义(多维探究) 命题角度一 求切线方程

【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________．

(2)(2017·扬州中学质检)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________． 解析 (1)设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x. 又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex1＋x，

－

xx

所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x.

因此，当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.

则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.

(2)∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，