(完整word)正弦余弦历年高考题及答案

正 余 弦 定 理

1．在?ABC中，A?B是sinA?sinB的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2、已知关于x的方程x?xcosA?cosB?2sin22C?0的两根之和等于两根之积的一半，2则?ABC一定是 （ ） （A）直角三角形（B）钝角三角形（C）等腰三角形（D）等边三角形.

3、 已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .

4、如图，在△ABC中，若b = 1，c =3，?C?

B2?，则a= 。 332?3C1A2，sinB?cosB?2，b?2，

5、在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，若a?则角A的大小为 ．

6、在?ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且4sin（1）求?A的度数

（2）若a?3，b?c?3，求b和c的值

7、 在△ABC中已知acosB=bcosA,试判断△ABC的形状.

8、如图，在△ABC中，已知a?

2B?C7?cos2A? 223，b?2，B=45? 求A、C及c.

1、解：在?ABC中，A?B?a?b?2RsinA?2RsinB?sinA?sinB，因此，选C． 2、【答案】由题意可知：cosAcosB?1C1?cosC，从而?2?sin2?2222cosAcosB?1?cos(A?B)?1?cosAcosB?sinAsinB

所以cosAcosB?sinAsinB?1，cos(A?B)?1又因为???A?B??所以A?B?0，

?ABC一定是等腰三角形选C

3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用.

【思路点拨】由已知条件求出B、A的大小，求出C，从而求出sinC. 【规范解答】由A+C=2B及A?B?C?180得B?60，由正弦定理得

oo13?得osinAsin60sinA?1ooo，由a?b知A?B?60，所以A?30，C?180?A?B 2?90o，所以sinC?sin90o?1.

4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。

【思路点拨】对?C利用余弦定理，通过解方程可解出a。 【规范解答】由余弦定理得，a2?12?2?a?1?cos或?2（舍）。【答案】1

【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。

5、【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了考生的推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】先根据sinB?cosB? 【规范解答】由sinB?cosB?o2??3，即a2?a?2?0，解得a?132求出B，再利用正弦定理求出sinA，最后求出A.

2得1?2sinBcosB?2，即sin2B?1，因为0

22=，sinAsin45o所以B=45，又因为a?解得sinA?2，b?2，所以在?ABC中，由正弦定理得：

1oo，又a

6

6．【答案】由题意得

2?1?cos(B?C)??2cos2A?1?7712 2?1?cos???2cosA?1? ∴cosA? 2223b2?c2?a212cosA???b?c??a2?3bc将a?3,b?c?3代入得bc?2,由

2bc2b?c?3及bc?2，得b?1,c?2或b?2,c?1.

7、 【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状. 【答案】解法1：由扩充的正弦定理：代入已知式 2RsinAcosB=2RsinBcosA

sinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0

A-B=0 ∴A=B 即△ABC为等腰三角形

2222解法2:由余弦定理: a?a?c?b?b?b?c?a a2?b2 ∴ a?b

2ac2bc220?A??

即△ABC为等腰三角形.

8、 【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角

asinB3sin45?3【答案】解法1：由正弦定理得：sinA? ??b22∵B=45?<90? 即b

bsinC?当A=60?时C=75? c?sinB2sin75??sin45?6?2 26?2 2bsinC2sin15???当A=120?时C=15? c??sinBsin45222解法2：设c=x由余弦定理 b?a?c?2accosB将已知条件代入，整理：

x2?6x?1?0解之：x?6?2 2222当c?6?22)?3b?c?a1?3?6?22??? 从而时cosA?22bc6?22(3?1)22?2?22?(A=60? ，C=75? 当c?

6?2时同理可求得：A=120? C=15?. 2

1.在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB. 解：在△ADC中，

AC2＋DC2－AD272＋32－5211cosC＝ ＝ ＝ ，

2AC·DC2×7×31453

又0＜C＜180°，∴sinC＝

14ACAB

在△ABC中， ＝

sinBsinC

sinC5356

∴AB＝ AC＝·2 ·7＝.

sinB142

35

2.在△ABC中，已知cosA＝ ，sinB＝ ，求cosC的值.

51332

解：∵cosA＝ ＜＝cos45°，0＜A＜π

524

∴45°＜A＜90°，∴sinA＝

551

∵sinB＝ ＜ ＝sin30°，0＜B＜π

132∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180° 若B＞150°，则B＋A＞180°与题意不符. 12∴0°＜B＜30° cosB＝

13

3124516

∴cos（A＋B）＝cosA·cosB－sinA·sinB＝ · － · ＝

51351365又C＝180°－（A＋B）.

16∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－ .

65

3、在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，试判定△ABC的形状. 解：在原等式两边同乘以sinA得2cosBsinAsinC＝sin2A， 由定理得sin2A＋sin2C－sin2B＝sin2A， ∴sin2C＝sin2B ∴B＝C 故△ABC是等腰三角形.

sinB＋sinC

1.在△ABC中，若sinA＝ ，试判断△ABC的形状.

cosB＋cosC解：∵sinA＝

sinB＋sinCsinB＋sinC

，∴cosB＋cosC＝ ，

sinAcosB＋cosC

a2＋c2－b2a2＋b2－c2b＋c

应用正、余弦定理得 ＋ ＝ ，

2ac2aba∴b（a2c2－b2）＋c（a2－b2c2）＝2bc（b＋c），

∴a2（b＋c）－（b＋c）（b2－2bc＋c2）＝2bc（b＋c） 即a2＝b2＋c2

故△ABC为直角三角形.

a2－b2sin（A－B）

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，求证：2 ＝ .

csinC证明：由a2＝b2＋c2－2bccosA. b2＝a2＋c2－2accosB

两式相减得a2－b2＝c（acosB－bcosA）， a2－b2acosB－bcosA∴2 ＝ .

cc2asinAbsinB又 ＝ ， ＝ ， csinCcsinC

a2－b2sinAcosB－sinBcosAsin（A－B）∴2 ＝ ＝ .

csinCsinC

3.在△ABC中，若（a＋b＋c）（b＋c－a）＝bc，并且sinA＝2sinBcosC，试判断△ABC

的形状.

解：由已知条件（a＋b＋c）（b＋c－a）＝bc及余弦定理得

b2＋c2－a2（a＋b＋c）（b＋c－a）1cosA＝ ＝ ＝

2bc2（a＋b＋c）（b＋c－a）2

∴A＝60°

又由已知条件sinA＝2sinBcosC得sin（B＋C）＝sin（B＋C）＋sin（B－C） ∴sin（C－B）＝0，∴B＝C 于是有A＝B＝C＝60°， 故△ABC为等边三角形.