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二次根式的化简
【知识要点】
什么是最简二次根式
(1)被开方数因数是整数,因式是整式. (2)被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数. 分母有理化:把分母中的根号化去,叫做分母有理化. 方法:①单项二次根式:利用a?a?a来确定.
22 ②两项二次根式:利用平方差公式?a?b??a?b??a?b来确定.如: a?b与
a?b,a?b与a?b,ax?by与ax?by分别互为有理化因式。
同类二次根式
(1)定义:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
(2)判断方法:注意以下三点:
①都是二次根式,即根指数都是2;②必须先化成最简二次根式;③被开方数相同. 【重难点解析】
1.化简二次根式:尽量把根号里的数写成几个数的平方的形式。 如:12?22?3= 23 18?32?2= 32 50?52?2= 52 2.根号里的数比较大时,使用短除法把这个数分解成质数的幂的形式。 如948?22?3?79= 23?79,2025?52?34= 5?32
3.根号内有字母或代数式,观察它们所能分解出来的最小偶次数。如: x?5x4?x?x2x、x3?x?1??x2?x?1??x?x?1?=x?x?1?x?x?1? 32 4.单项的分母有理化,可以直接分子分母同时乘以分母再约分。
如:11?33222?3233?????? 、
32?3333?382323?3225.两项的分母有理化,运用平方差公式a?b??a?b??a?b?,分子分母同时乘以一个有理化因式,将分母中的根号去掉
1 如:?3?2
1???3?23?2???3?2???3?23?2??3?2
1
【经典例题】
例1、化简二次根式
例2、写出下列各式的有理化因式
1248501085421?5615?45
3?2 2?5 23?52 例3、把下列各式分母有理化 (1)
例4、如果最简根式m?n?22m?4n和13?m是同类根式,求m、n的值。
例5、把5的整数部分记为a,小数部分记做b,则a?112 (2)332 (3)41 (4)
7?115?31?b
【课堂练习】
1.化简下列各式
98 162
26315
2 3 2
21224 33?15?37?3
9?25?,
62?82?,
9?169?12
2.计算下列各题: (1)?7?2
2(4)??5??? ?5??
16?9?,
?62?2??26?2?
7?63 262?102
??12????25?2(2)??3??? (3)?32?2
?4??(5)(?4)2 (6)22 3
3.(1)若最简二次根式2m?1与?37?2m是同类二次根式,求m的取值
(2)若最简二次根式a?12a?5与4a?3b是同类二次根式,求a、b的值
4.已知a?
5?25?211,b?,求?的值。 33ab
二次根式的乘除法
【知识要点】
1、乘法公式:ab?2、除法公式:
a?b(a≥0,b≥0)。 ab?ab?a?0,b?0? ba?b3、比较两个实数的大小.
方法一:先求无理数的近似值,转化为比较有理数的大小,从而得出两个无理数的大小.
方法二:两个正数中,较大的正数,它的算术平方根也较大,即a>b>0时,可以得出
a>b. 也就是说,比较两个二次根式的大小,可以转化为先比较它们被
开方数的大小,从而得出两个二次根式的大小.
【典型例题】
例1 、计算下列各题: (1)
??2?3? (3) 7 (2) ?32?4????22?? 4
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