二次根式的化简

二次根式的化简

【知识要点】

什么是最简二次根式

（1）被开方数因数是整数，因式是整式． （2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 方法:①单项二次根式：利用a?a?a来确定．

22 ②两项二次根式：利用平方差公式?a?b??a?b??a?b来确定．如: a?b与

a?b，a?b与a?b，ax?by与ax?by分别互为有理化因式。

同类二次根式

(1)定义:几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。

(2)判断方法：注意以下三点：

①都是二次根式，即根指数都是2；②必须先化成最简二次根式；③被开方数相同. 【重难点解析】

1．化简二次根式：尽量把根号里的数写成几个数的平方的形式。 如：12?22?3= 23 18?32?2= 32 50?52?2= 52 2．根号里的数比较大时，使用短除法把这个数分解成质数的幂的形式。 如948?22?3?79= 23?79，2025?52?34= 5?32

3．根号内有字母或代数式，观察它们所能分解出来的最小偶次数。如： x?5x4?x?x2x、x3?x?1??x2?x?1??x?x?1?=x?x?1?x?x?1? 32 4．单项的分母有理化，可以直接分子分母同时乘以分母再约分。

如：11?33222?3233?????? 、

32?3333?382323?3225．两项的分母有理化，运用平方差公式a?b??a?b??a?b?，分子分母同时乘以一个有理化因式，将分母中的根号去掉

1 如：?3?2

1???3?23?2???3?2???3?23?2??3?2

1

【经典例题】

例1、化简二次根式

例2、写出下列各式的有理化因式

1248501085421?5615?45

3?2 2?5 23?52 例3、把下列各式分母有理化 （1）

例4、如果最简根式m?n?22m?4n和13?m是同类根式，求m、n的值。

例5、把5的整数部分记为a，小数部分记做b，则a?112 （2）332 （3）41 （4）

7?115?31?b

【课堂练习】

1.化简下列各式

98 162

26315

2 3 2

21224 33?15?37?3

9?25?，

62?82?，

9?169?12

2.计算下列各题： （1）?7?2

2（4）??5??? ?5??

16?9?，

?62?2??26?2?

7?63 262?102

??12????25?2（2）??3??? （3）?32?2

?4??（5）(?4)2 （6）22 3

3.（1）若最简二次根式2m?1与?37?2m是同类二次根式，求m的取值

（2）若最简二次根式a?12a?5与4a?3b是同类二次根式，求a、b的值

4.已知a?

5?25?211,b?,求?的值。 33ab

二次根式的乘除法

【知识要点】

1、乘法公式：ab?2、除法公式：

a?b（a≥0，b≥0）。 ab?ab?a?0,b?0? ba?b3、比较两个实数的大小.

方法一：先求无理数的近似值，转化为比较有理数的大小，从而得出两个无理数的大小.

方法二：两个正数中，较大的正数，它的算术平方根也较大，即a>b>0时，可以得出

a>b. 也就是说，比较两个二次根式的大小，可以转化为先比较它们被

开方数的大小，从而得出两个二次根式的大小.

【典型例题】

例1 、计算下列各题： （1）

??2?3? （3） 7 （2） ?32?4????22?? 4