2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编9：圆锥曲线 - 图文

x2y2??1(x??2)(左定点除外),其方程为4. 3(II)

对于曲线C上任意一点P(x,y),由于PM?PN?2R?2?2,所以R?2,当

且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2,所以当圆P的半径最长时,其方程为

(x?2)2?y2?4;

若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得AB?23. 若l的倾斜角不为90°,则r1?R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q, 则

QPQM?3kR,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l于圆M相切得?1,

2r11?k2. 4解得k=±

x2y222??1,并整理得7x2?8x?8?0, 当k=时,将y=x+2代入4344解得x1,2??4?6218.所以AB=1+k2x2?x1?. 77当k=?218时，有图形的对称性可知AB=. 4718. 7综上,AB=23或AB?错误！未指定书签。．（2013年高考陕西卷（文））已知动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它

到点N(1,0)的距离的2倍.

(Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程;

(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率.

【答案】解: (Ⅰ) 点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍,则

x2y2|x?4|?2(x?1)?y???1.

4322x2y2??1 所以,动点M的轨迹为 椭圆,方程为43(Ⅱ) P(0, 3), 设A(x1,y1),B(x2,y2),由题知：2x1?0?x2，2y1?3?y2

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椭圆的上下顶点坐标分别是(0,3)和(0,-3),经检验直线m不经过这2点,即直线m斜率k存在.设直线m方程为:y?kx?3.联立椭圆和直线方程,整理得:

（3?4k2)x2?24kx?24?0?x1?x2??24k24,x?x? 12223?4k3?4kx1x21(x1?x2)2?2x1?x25(?24k)293 ???2?????k??x2x12x1?x222(3?4k2)?242所以,直线m的斜率k??3 2错误！未指定书签。．（2013年高考大纲卷（文））已知双曲线

x2y2C:2?2?1?a?0,b?0?的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线

aby?2与C的两个交点间的距离为6.

(I)求a,b;;

(II)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且AF1?BF1,证明:AF2、AB、BF2成等比数列

ca2?b222?9b?8a【答案】(Ⅰ)由题设知?3,即,故.

aa2所以C的方程为8x?y?8a.

2222将y=2代入上式,求得,x??a?1. 2由题设知,2a?21?6,解得,a2?1. 2所以a?1,b?22. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,F1(?3,0),F2(3,0),C的方程为8x?y?8. ① 由题意可设l的方程为y?k(x?3),|k|?22,代入①并化简得,

22(k2?8)x2?6k2x?9k2?8?0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则

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6k29k2?8,x1?x2?2. x1??1,x2?1,x1?x2?2k?8k?8于是

|AF1|?(x1?3)2?y12?(x1?3)2?8x12?8??(3x1?1), |BF1|?(x2?3)2?y22?(x2?3)2?8x22?8?3x2?1

由|AF1|?|BF1|得,?(3x1?1)?3x2?1,即x1?x2??2. 34196k22??,解得k2?,从而x1?x2??. 故259k?83由于|AF2|?(x1?3)2?y12?(x1?3)2?8x12?8?1?3x1,

|BF2|?(x2?3)2?y22?(x2?3)2?8x22?8?3x2?1,

故|AB|?|AF2|?|BF2|?2?3(x1?x2)?4,

|AF2|?|BF2|?3(x1?x2)?9x1x2-1?16.

因而|AF2|?|BF2|?|AB|2,所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.

x2y2错误！未指定书签。．（2013年高考天津卷（文））设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F, 离

ab心率为343, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. 33(Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. ????????????????若AC·DB?AD·CB?8, 求k的值.

【答案】

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错误！未指定书签。．（2013

年高考辽宁卷（文））如图,抛物线

C1:x2?4y,C2:x2??2py?p?0?,点M?x0,y0?在抛物线C2上,过M作C1的切线,

切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O)x0?1?2,切线MA.的斜率为-(I)求p的值;

(II)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程.A,B重合于O时,中点为O.

1. 2??

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