同济第五版配套行列式教案3

12例题D?412414333341, 求A11?A21?A31?A41 22解：因为D的第3列元素与D的第1列元素的代数余子式相乘求和 为0,即 3A11?3A21?3A31?3A41?0 所以 A11?A21?A31?A41?0 五．范德蒙(Vandermonde)行列式 1x1Dn?x12?x1n?1 1x22x2??11xn2xn??(xi?xj). 1?j?i?n?n?1xn?xn?12?xn?1?n?1n?1x2?xn?11 证 Dn(i)?xn(i?1)i?n,?,21(x2?xn)x2(x2?xn)????1(xn?1?xn)xn?1(xn?1?xn)?100 ??(x1?xn)x1(x1?xn)?n?2n?2x1n?2(x1?xn)x2(x2?xn)?xn0?1(xn?1?xn) ?(?1)1?n(x1?xn)(x2?xn)?(xn?1?xn)Dn?1 ?(xn?xn?1)(xn?xn?2)?(xn?x1)Dn?1 Dk?(xk?xk?1)(xk?xk?2)?(xk?x1)Dk?1 (k?n,n?1,?,3) D2?1x11x2?x2?x1 Dn?(xn?xn?1)(xn?xn?2)?(xn?x2)(xn?x1)? (xn?1?xn?2)?(xn?1?x2)(xn?1?x1)? ……………… (x3?x2)(x3?x1)? (x2?x1) 记住范德蒙(Vandermonde)行列式的结构即可。 5

123?n111?1 12232?n2123?n掌握克莱姆法则3 (2)1233?n3?1?2?3???n12232?n2 的适用条件。 ???? nnnn?1n?1n?1123?n123?n ?n!(n?1)!?2!1! §1.7 克拉默法则 考虑n元线性方程组 ?a11x1?a12x2???a1nxn?b1 ?ax?ax???ax?b?2112222nn2 ? 与二、三元线性方程组类似，它的解可以用 ????? ??an1x1?an2x2???annxn?bn n阶行列式表示，即有 ?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b ?2112222nn2(1) 一、克莱姆法则 如果线性方程组 ? ?? ??an1x1?an2x2???annxn?bn DnD1D2,x2?,?,xn?(2) 的系数行列式不等于零，即则方程组（1）有唯一解x1?DDD 其中 Dj(j=1,2,…,n) 是系数行列式 D 中第j列元素用方程组右端的自由项代替后所得到 的 n 阶行列式，即 a11?a1,j?1b1a1,j?1?a1n注：证明在第二a21?a2,j?2b2a2,j?2?a2nDj?。 章给出。 ????? an1?an,j?1bnan,j?n?ann ?2x1?x2?5x3?x4?8?x?3x?6x?9 ?124例1 解方程组? 2x?x?2x??534?2 ??x1?4x2?7x3?x4?0 1112例题(1）12212313323314?(2?1)(3?1)(4?1)(3?2)(4?2)(4?3)?12 2443 6

21?5181?511?30?69?30?6解： D?，?27D1??81， 02?12?52?1214?7604?7628?512181190?61?39?6D2???108，D3???27 0?5?1202?5210?76140621?581?309D4??27，于是得 02?1?514?70x1?D181D?108??3,x2?2???4， D27D27x3?D3?27D27???1,x4?4??1。 D27D27例2 设曲线y?a0?a1x?a2x2?a3x3通过四点（1，3）、（2，4）、（3，3）、(4,-3) ，求系数a0,a1,a2,a3。 解 把四个点的坐标代入曲线方程，得线性方程组 练习：P288(1) 1111?a0?a1?a2?a3?3?a?2a?4a?8a?4 1248?0123其系数行列式D?是范德蒙行列式， ?a?3a?9a?27a?313927123?0定理内容的证明?141664?a0?4a1?16a2?64a3??3将在后面的章节给予证明。 可得D?1?2?3?1?2?1?12 31111311 42481448而；； D1??36D2???183392713927 ?3416641?31664 11311113 12481244D3??24;D4???6。故由克拉默法则的唯一解 133271393 14?3641416?3 3131 a0?3,a1??,a2?2,a3??,即曲线方程为y?3?x?2x2?x3。 2222

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定理4 如果线性方程组（1）的系数行列式D?0，则（1）一定有解，且解是唯一的。 定理4′ 如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零. 线性方程组（1）右端的自由项b1,…,bn 不全为零时，线性方程组（1）叫做非齐 次方程组，当b1,…,bn 全为零时，线性方程组（1）叫做齐次线性方程组. ?a11x1?a12x2???a1nxn?0?ax?ax???ax?0 ?2112222nn齐次线性方程组(4)? ? ? ?ax?ax???ax?0n22nnn?n11 x1?x2??xn?0一定是它的解.这个解叫做(4)的零解 如果一组不全为零的数是（4）的解，则它叫做齐次方程组（4）的非零解.齐次方 程组一定有零解，但不一定有非零解.定理5 如果齐次线性方程组（4）的系数行列式不为零 ，则齐次线性方程组（4）没有 非零解. 定理５′如果齐次线性方程组（4）有非零解，则它的系数行列式必为零. ?x1??x2?x3?0? 例３?为何值时，方程组?x1?x2?x3?0有非零解 ??x?x?2x?023?1 解：当方程组的系数行列式D?0时，有非零解 1?11?1 D?1?11?0?1??0??(1??)(2??) ?12?12 则???1,或２时有非零解。 练习： P2810 ??x1?x2?x3?0?复习思考：问?、?取何值时，齐次线性方程组?x1??x2?x3?0有非零解？ ?x?x?(1??)x?023?1

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